積分計算で・・・

質問

∫(-∞ ～ +∞)1/(x^2+a^2)^3/2 dx = 2/(a^2)
らしいのですが、
なぜこうなるのか過程がわかりません。
どなたか解法を教えてください。

回答No.1

aqfeplus · ベストアンサー

1/(x^2 + a^2)の形の積分は、x=a*tanθの変換をするのが常套手段です。

x=a*tanθとおくと、dx = a*dθ/cos^2(θ)
積分範囲は－π/2～π/2
∫(-∞ ～ +∞)1/(x^2+a^2)^3/2 dx
=∫(-π/2 ～ π/2) (1/a^3)* 1/(1+tan^2(θ))^3/2 * ( a*dθ /cos^2(θ) )
=∫(-π/2 ～ π/2) (1/a^2)* cosθ dθ
後は分かるでしょう。

お礼

なるほど！
そうすればよかったんですか！！
ありがとうございました＾＾

回答No.3

info22

#2です。

>なんだか難しい方法ですね；；；

一見、難しそうに見えるが、式の変形を追えば、
単純な式の変形をして積分しているだけ。
何の置換もしないで、微分の発想をすれば、
簡単に積分できてしまいます。

回答No.2

info22

I=∫(-∞,+∞)1/(x^2+a^2)^(3/2) dx
=2∫(0,+∞)1/(x^2+a^2)^(3/2) dx
=(2/a^2)∫(0,+∞)(x^2+a^2-x^2)/(x^2+a^2)^(3/2) dx
=(2/a^2)∫(0,+∞){1/(x^2+a^2)^(1/2)-(x^2)/(x^2+a^2)^(3/2)} dx
=(2/a^2)[x/(x^2+a^2)^(1/2)](0,+∞)
=2/a^2

お礼

なんだか難しい方法ですね；；；
やってみます。
ありがとうございました。