不定積分

質問

∫(2x+1/x^2-1)dx
です。
自分で計算した所、
∫(2x+1/x^2-1)dx=∫[{(1/2)/x+1}+{(3/2)/x-1}]dx
=1/2log|x+1|+3/2log|x-1|+C
とでたのですが、答えは
1/2log|(x-1)/(x+1)|+log|x^2-1|+C
となっています。
どこで間違っているのでしょうか？
教えて下さい。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

1/2log|x+1|+3/2log|x-1|
= 1/2*(log|x-1|-log|x+1|) + (log|x+1|+log|x-1|)
= 1/2log|(x-1)/(x+1)|+log|x^2-1|
ですから、あなたの答えも正解です。

回答では、
∫(2x+1/x^2-1)dx = ∫1/(x^2-1)dx + ∫2x/(x^2-1)dx
　　　　　　　　 = ∫1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]dx + ∫2x/(x^2-1)dx
と計算したのでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
答えの解き方まで丁寧にありがとうございました。

補足

すいません。疑問に思ったので。
どちらの回答のほうがより良いのでしょうか？

回答No.2

alkantala

(1/2)log|(x-1)/(x+1)|+log|x^2-1|+C
(1/2)log|(x-1)/(x+1)|=(1/2)log|x-1|-(1/2)log|x+1|
で第２項は
log|x^2-1|=log|(x+1)(x-1)|=log|x+1|+log|x-1|
と計算されますから
(1/2)log|(x-1)/(x+1)|+log|x^2-1|+C
=(1/2)log|x+1|+(3/2)log|x-1|+C
です。

つまりshow-tenさんの計算は合っています。
部分分数分解を用いた貴方の解法でＯＫでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
いつもいつも丁寧にありがとうございます。