定積分

質問

∫(-1~1)(x+2)/(x^2+2*x+6)dx
の問題で分子を2*x+2-xという風に変形して、logで解こうと
しましたが、途中でわからなくなりました。
最後まで解法を教えて下さい。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

質問の積分は定積分でしたので
A#1の解答中の積分定数C1,C2,Cは不要ですので、C1,C2,Cの項とC=C1+C2の但し書きはすべて削除願います。

> I1=∫(0,2)t/(5+t^2)dt=(1/2)∫(0,2)(t^2)'/(5+t^2)dt
> =(1/2)ln(5+t^2)(0,2)
> =(1/2)ln(9/5) 【+C1削除】
> I2=∫(0,2)1/(5+t^2)dt
> t=u√5と置換すると
>　dt=√5du, t:(0,2)→u:(0,2/√5)
> I2=(1/5)∫(0,2/√5) (√5)/(1+u^2)du
> =(1/√5){arctan(2/√5)-arctan(0)}
> ={arctan(2/√5)}/√5 【+C2削除】
> I=I1+I2=(1/2)ln(9/5)+{arctan(2/√5)}/√5 【+C削除】
> (積分定数C=C1+C2) 【この行は削除】

失礼しました。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。
本当に助かりました！

回答No.1

info22_

x+1=tと置換すると
dx=dt, x:(-1,1)→t:(0,2)
I=∫(0,2)(t+1)/(5+t^2)dt=I1+I2
I1=∫(0,2)t/(5+t^2)dt=(1/2)∫(0,2)(t^2)'/(5+t^2)dt
=(1/2)ln(5+t^2)(0,2)
=(1/2)ln(9/5)+C1
I2=∫(0,2)1/(5+t^2)dt
t=u√5と置換すると
　dt=√5du, t:(0,2)→u:(0,2/√5)
I2=(1/5)∫(0,2/√5) (√5)/(1+u^2)du
=(1/√5){arctan(2/√5)-arctan(0)}
={arctan(2/√5)}/√5+C2
I=I1+I2=(1/2)ln(9/5)+{arctan(2/√5)}/√5+C
(積分定数C=C1+C2)