積分の計算

質問

①∮2x^2/x^3+1dx
②∮x+2/√(2x-1)
③∮（0→1）x^3log(x^2+1)dx
④∮x^2/x^2-1dx 小テストででたこの積分が分かりません。どうかわかり易く教えて下さい。
教えてください

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

Cは積分定数とする。

①
x^3+1 = t とおく。
（微分して）3x^2 dx = dt となるので
（与式）
= ∫ (2/3) { (3x^2 dx) / (x^3+1) }
= ∫(2/3) (1/t) dt
= (2/3) log | t | + C
= (2/3) log | x^3+1 | + C …答

②
√(2x-1) = t とおく。
2x - 1 = t^2 …(*)
（微分して）2 dx = 2t dt
∴ dx = t dt
また (*) より x = (t^2 + 1) / 2 なので
x+2 = (t^2 + 5) / 2
（与式）
= ∫{ (x + 2) / √(2x - 1) } dx
= ∫{ (t^2 + 5) / 2t } * t dt
= ∫{ (t^2 / 2) + (5/2) } dt
= (1/6) t^3 + (5/2) t + C
= (1/6) (2x - 1) √(2x - 1) + (5/2) √(2x - 1) + C …答

③
x^2 + 1 = t とおく。
x^2 = t - 1
（微分して） 2x dx = dt
また x=0 のとき t=1 , x=1 のとき t=2 である。
（与式）
= ∫(0→1) (x^2 / 2) { log (x^2 + 1) } 2x dx
= ∫(1→2) { (t - 1) / 2 } log t dt
= [ { (t^2 / 4) - (t / 2) } log t ] (1→2) - ∫(1→2) { (t^2 / 4) - (t/ 2) } (1 / t ) dt
= (0 - 0) - ∫(1→2) { (t / 4) - (1 / 2) } dt
= [ - (t^2 / 8) + (t / 2) ] (1→2)
= { (-1/2) + 1 } - { (-1/8) + (1/2) }
= 1/8 …答

④
x^2 ÷ (x^2 - 1) = 1 あまり 1 なので
x^2 = (x^2 - 1) * 1 + 1
∴ x^2 / (x^2 - 1) = 1 + 1 / (x^2 - 1)
また、部分分数分解を行って
1 / (x^2 - 1) = (1/2) { 1 / (x - 1) - 1 / (x + 1) }
よって
（与式）
= ∫{ 1 + (1/2) { 1 / (x - 1) - 1 / (x + 1) } dx
= x + (1/2) log | x - 1 | - (1/2) log | x + 1 | + C …答