積分計算

質問

S=∫x√(1+x+x^2) dx

S=∫(4x-1)/(2x^2+5x+2) dx

がわからなくて困っています；；
どのように計算すればよいか教えてください！！

回答No.5

kkkk2222

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S=∫x√(1+x+(x^2))dx
=∫x√［(((x+(1/2))^2))+3/4］dx
=(1/2)∫x√［((2x+1)^2)+3］dx

(2x+1)=t
x=((t-1)/2)
dx=(1/2)dt

S=(1/2)∫x√［((2x+1)^2)+3］dx
=(1/2)∫((t-1)/2)√［(t^2)+3］(1/2)dt
=(1/8)∫(t-1)√((t^2)+3)dt
=(1/8)∫(t-1)√((t^2)+3)dt
=(1/8)∫t√((t^2)+3)dt-(1/8)∫√((t^2)+3)dt
=(1/8)P-(1/8)Q

P=∫t√((t^2)+3)dt
=(1/3)(((t^2)+3)^(3/2))
ーーー
Ｒ＝∫【1/［(√((t^2)+3))］】dt

［(√((t^2)+3))］+t=T・・・T>0
【t/［√((t^2)+3))］＋１】dt=dT
【【t+［√((t^2)+3))］】/［√((t^2)+3))］】dt=dT
【T/［√((t^2)+3))］】dt=dT
【1/［√((t^2)+3))］】dt=dT/T

Ｒ＝∫［1/(√((t^2)+3))］dt
=∫dT/T
=logT
=log【［(√((t^2)+3))］+t】
ーーー
Q=∫√((t^2)+3)dt=t√((t^2)+3)-∫［(t^2)/√((t^2)+3)］dt

(t^2)/√((t^2)+3)
=［(t^2)+3-3］/√((t^2)+3)
=［√((t^2)+3)］-3［1/√((t^2)+3)］

Q=
∫√((t^2)+3)dt=t√((t^2)+3)-∫［√((t^2)+3)］dt+3［1/√((t^2)+3)］dt
↑　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
2Q=
2∫√((t^2)+3)dt=t√((t^2)+3)+3［1/√((t^2)+3)］dt
Q=(1/2)【t√((t^2)+3)+3log［t+((√((t^2)+3))］】
------
S=(1/8)P-(1/8)Q
8S=(1/3)(((t^2)+3)^(3/2))-(1/2)【t√((t^2)+3)+3log［t+((√((t^2)+3))］】
48S=2(((t^2)+3)^(3/2))-3【t√((t^2)+3)+3log［t+((√((t^2)+3))］】
48S=2(((t^2)+3)^(3/2))-3t√((t^2)+3)-9log［t+((√((t^2)+3))］
48S=2(((t^2)+3)^(3/2))-3t√((t^2)+3)-9log［t+((√((t^2)+3))］

(2x+1)=t
4(x^2)+4x+1=(t^2)
4(x^2)+4x+4=(t^2)+3

48S=2(((4(x^2)+4x+4)^(3/2))-3(2x+1)√(4(x^2)+4x+4)-9log［(2x+1)+((√(4(x^2)+4x+4)］
48S=16((x^2)+x+1)^(3/2))-6(2x+1)√((x^2)+x+1)-9log［(2x+1)+2((√(x^2)+x+1)］

S=(1/3)((x^2)+x+1)^(3/2))-(1/8)(2x+1)√((x^2)+x+1)-(3/16)log［(2x+1)+2((√(x^2)+x+1)］
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回答No.4

Mr_Holland

1問目は、先ずは、
　　ｘ＋1/2＝(√3/2)tanθ
とおいて積分してください。
　その後は、t＝tan(θ/2) と変換するとよいと思います。
　結果は、次のようになりました。
　　(x^2+x+1)^(3/2)/3-(2x+1){√(x^2+x+1)}/8-(3/16)log | 2x+1+2√(x^2+x+1) |

　2問目は、前の方たちのヒントに従って、部分分数分解してから積分してください。
　結果は、
　　-log|x+1/2| + 3log|x+2|
かな？

回答No.3

poizumi

すいません。因数分解で(2x+1)(2x+2)と書きましたが
(2x+1)(x+2)です

回答No.2

poizumi

S=∫(4x-1)/(2x^2+5x+2) dx
のほうだけわかりました。
まず分母の(2x^2+5x+2)を因数分解して(2x+1)(2x+2)とすると
S=∫(4x-1)/(2x^2+5x+2) dx＝S=∫(4x-1)/(2x+1)(2x+2)dxとなりますねそして、(4x-1)/(2x+1)(2x+2)＝A/(2x+1)+B/(x+2)とおく
A/(2x+1)+B/(x+2)＝(A(x+2)+B(2x+1))/(2x+1)(2x+2）
＝(Ax+2A+2Bx+B)/(2x+1)(2x+2）となる
そして、この式と元の(4x-1)/(2x+1)(2x+2)と係数を合わせてみると
A=-2、B=3となります
代入してみると、∫｛-2/(2x+1)+3/(x+2)｝dxとなります
ここまできたらできますね

回答No.1

info22

前半は
Mathematicaでは
(1/24)(√(1+x+x^2))(5+2x+8x^2)
-(3/16)(sinh^(-1))((2x-1)/√3)
となりますので
u=(2x-1)/√3
x=(u√3+1)/2
u=sinh(t)
t=arcsinh(u)=ln[u+√(u^2-1)]
(lnは自然対数）
と言った変数変換をすればできそうですね。

後半は分母が
(2x+1)(x+2)と因数分解できますので
部分分数展開すれば積分できますよ。

他人に丸投げしないで自分でわかる範囲で解答を作って質問するようにして下さい。