やや複雑な積分計算log

質問

以下の積分が計算できず困っています。。。
∫dx x^2(log［｛√(r^2-x^2)｝+r］)
解答と解き方を教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

∫x^2[log{r+√(r^2-x^2)}]dx
=(x^3/3)[log{r+√(r^2-x^2)}]+(1/3)∫x^4/{r^2-x^2+r√(r^2-x^2)}dx

(1/3)∫x^4/{r^2-x^2+r√(r^2-x^2)}dx
=(1/3)∫x^4/[{r+√(r^2-x^2)}√(r^2-x^2)]dx
=(1/3)∫x^4{r-√(r^2-x^2)}/{x^2√(r^2-x^2)}dx
=(1/3)∫x^2{r-√(r^2-x^2)}/√(r^2-x^2)dx
=(1/3)∫x^2{-1+r/√(r^2-x^2)}dx
=-(1/3)∫x^2dx+(r/3)∫x^2/√(r^2-x^2)dx
=-(x^3/9)+(r/3)∫{-(r^2-x^2)+r^2}/√(r^2-x^2)dx
=-(x^3/9)-(r/3)∫√(r^2-x^2)dx+(r^3/3)∫1/√(r^2-x^2)dx

x=rsint
とすると
dx=rcostdt

∫√(r^2-x^2)dx
=r^2∫{(cost)^2}dt
=(r^2/2)∫{1+cos(2t)}dt
=(r^2/2)[t+{sin(2t)}/2]+c1
=(r^2/2)(t+sintcost)+c1
=(r^2/2)t+(rsint)(rcost)/2+c1
=(r^2/2)arcsin(x/r)+{x√(r^2-x^2)}/2+c1

∫1/√(r^2-x^2)dx
=∫dt
=t+c2
=arcsin(x/r)+c2
だから

(1/3)∫x^4/{r^2-x^2+r√(r^2-x^2)}dx
=-(x^3/9)-(r/3)[(r^2/2)arcsin(x/r)+{x√(r^2-x^2)}/2]+(r^3/3)arcsin(x/r)+C
=-(x^3/9)-(r/6)x√(r^2-x^2)-(r^3/6)arcsin(x/r)+(r^3/3)arcsin(x/r)+C
=-(x^3/9)-{rx√(r^2-x^2)}/6+(r^3/6)arcsin(x/r)+C
だから

∫x^2[log{r+√(r^2-x^2)}]dx
=(x^3/3)[log{r+√(r^2-x^2)}]-(x^3/9)-{rx√(r^2-x^2)}/6+(r^3/6)arcsin(x/r)+C

回答No.2

bran111

∫dx x(log［｛√(r^2-x^2)｝+r］)

ならできます。

回答No.1

noname#221368

logの積分の常套手段は、添付図のように部分積分してlogを外す事。

　x^2を含む√　の積分の常套手段は、x＝r・cosθまたはr・sinθとおいて、√　を外しcos，sinの有理式に持ち込む事。

　cos，sinの有理式の積分は、tanθ＝tとおいて、tの有理関数に持ち込む事。そして有理関数は必ず積分できる。

　岩波数学公式集あたりを丹念に調べて地道に頑張れば、いつかは出来ると思いますが、自分はできれば避けたい・・・(^^;)。定積分の値が欲しいだけなら、Excelあたりで数値積分する。