積分

質問

∫ｄｘ／((Ｘ＾２)－２Ｘ)

これを計算したら、
－１／２(ｌｏｇｘ－ｌｏｇ(ｘ－２))
になったのですがあっていますか？

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

x>2　の範囲で存在する　-(1/2) log x + (1/2) log(x-2) + C　(C は任意定数)
0<x<2　の範囲で存在する　-(1/2) log x + (1/2) log(-x+2) + C　(C は任意定数)
x<0　の範囲で存在する　-(1/2) log(-x) + (1/2) log(-x+2) + C　(C は任意定数)
という３種類の解があることに注意しましょう。
これらの内どれを採るべきかは、初期条件によって異なります。

絶対値を用いた
-(1/2) log |x| + (1/2) log |x-2| + C　(C は任意定数)
とういう表記は、上記の状況をよく理解して使うぶんには良いのですが、
∫dx/x = log |x| を公式と思ってヤミクモに使ってしまうと
混乱のもとになるだけですから、上級者以外にはお勧めしません。

基本を解っていない人が多いんですよ。

お礼

わかりやすい説明、有難う御座います。
もっと基本を身に付けます。

回答No.2

sanori

こんばんは。

１／（ｘ^2 －　２ｘ）　＝　１／（ｘ（ｘ－２））

１／（ｘ（ｘ－２））　＝　ａ／ｘ　＋　ｂ／（ｘ－２）
と置けば、
１　＝　ａ（ｘ－２）　＋　ｂｘ
となって
１　＝　（ａ＋ｂ）ｘ　－　２ａ
となります。
これが恒等式なので、
ａ＋ｂ　＝　０
１　＝　－２ａ
という連立方程式ができて、
ａ　＝　－１／２
ｂ　＝　－ａ　＝　１／２
よって
１／（ｘ（ｘ－２））　＝　－１／（２ｘ）　＋　１／（２（ｘ－２））

よって、
与式　＝　－１／２・∫ｄｘ／ｘ　＋　１／２・∫ｄｘ／（ｘ－２）
　＝　－１／２・log|ｘ|　＋　１／２・log|ｘ－２|　＋　Ｃ
絶対値の記号と　＋Ｃ　があれば合いますね。

さらに、
　＝　１／２・（log|ｘ－２|　－　log|ｘ|）　＋　Ｃ
　＝　１／２・log|（ｘ－２）／ｘ|　＋　Ｃ
　＝　１／２・log|（１　－　２／ｘ）|　＋　Ｃ

お礼

なるほど。
わかりやす回答有難う御座います。

回答No.1

info22

間違いです。
被積分関数のxは実数の範囲の変域を持ち、負にもなります。
したがって積分してlogが出てくるときは真数に絶対値をつけて下さい。
また不定積分なので積分定数Cを加えることを忘れないで。。。