中学生数学の証明問題

質問

かなり図が汚くて申し訳ございません。

画像の図で 「BG=HG を証明せよ」 という問題です。

教えている生徒に学校からの課題で教えてくれるように頼まれたのですが、

どこから手をつければいいか、方針がみえません。

補助線を引いて問題を解くようです。

どうかよろしくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ＡＦにＢから垂線を引いて交点をＩ，ＣＧを延長して、ＢＩとの交点をＪとする。
△ＡＤＦと△ＤＣＧとで、
ＡＤ＝ＤＣ（正方形ＡＢＣＤより）
∠ＡＦＤ＝∠ＤＧＣ＝９０度
∠ＡＤＦ＝９０度－∠ＣＤＧ
∠ＤＣＧ＝９０度－∠ＣＤＧだから、
∠ＡＤＦ＝∠ＤＣＧ
よって、直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しいから
△ＡＤＦ≡△ＤＣＧ　……（１）
△ＡＤＦと△ＢＡＩとで、
ＡＤ＝ＢＡ（正方形ＡＢＣＤより）
∠ＡＦＤ＝∠ＢＩＡ＝９０度
∠ＡＤＦ＝９０度－∠ＤＡＦ
∠ＢＡＩ＝９０度－∠ＤＡＦだから、
∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＩ
よって、直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しいから
△ＡＤＦ≡△ＢＡＩ……（２）
四角形ＦＧＪＩで、
（１）（２）より、ＡＦ＝ＤＧ，ＡＩ＝ＤＦだから、
ＦＧ＝ＤＧ－ＤＦ＝ＡＦ－ＡＩ＝ＩＦ
∠ＪＩＦ＝∠ＩＦＧ＝∠ＦＧＪ＝９０度より、
∠ＧＪＩ＝９０度　
よって、隣り合う２辺が等しく、４つの角が等しいから、
四角形ＦＧＪＩは正方形……（３）
△ＧＦＨと△ＧＪＢとで、
ＧＦ＝ＧＪ（（３）より）
∠ＧＦＨ＝∠ＧＪＢ＝９０度（（３）より）
∠ＦＧＨ＝９０度－∠ＪＧＨ（（３）より）
∠ＪＧＢ＝９０度－∠ＪＧＨ（∠ＢＧＨ＝９０度）だから、
∠ＦＧＨ＝∠ＪＧＢ
よって、１辺と両端の角が等しいから、
△ＧＦＨ≡△ＧＪＢ
よって、ＨＧ＝ＢＧ

図を書いて確認してみて下さい。

お礼

直角三角形と正方形まで証明していただきありがとうございます。
参考にします。

回答No.2

mariopapa2397

ＢからＡＦに垂線をひき、交点をＩとし、
ＣＧを延長して、ＢＨとの交点をＫとすると、
4つの直角三角形ＣＧＤ、ＤＦＡ、ＡＩＢ、ＢＫＣは、
合同な直角三角形になり、
内側にできる四角形ＧＦＩＫは、正方形になります。
ここで、△ＧＦＨと、△ＧＫＢにおいて、
∠ＧＦＨ＝∠ＧＫＢ＝９０°・・・(1)
ＧＦ＝ＧＫ　　　・・・(2)
∠ＦＧＨ＝９０°－∠ＨＧＫ・・・(3)
∠ＫＧＢ＝９０°－∠ＨＧＫ・・・(4)
(3)、(4)より、
∠ＦＧＨ＝∠ＫＧＢ・・・(5)
(1)、(2)、(5)より、
一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ＧＦＨ≡△ＧＫＢ
よって、ＧＨ＝ＧＢ
で、どうでしょうか。
（内側の正方形の証明は、省略しました。）

お礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございます。
おかげで解き方が分かりました。

回答No.1

gohtraw

添付図だけではこの図がどういう前提で書かれたものか判らないので、答えようがないとおもいますよ。
例えばＡＢＣＤは正方形ですか？ＤからＨの各点はどう定義されていますか？

補足

すいません。

ＡＢＣＤは正方形で、ＢＣ上に適当にＥをとってＤＥを引く。
ＡからＤＥに垂線を引いて、その交点をＦとする。
ＣからＤＥに垂線を引いて、その交点をＧとする。
ＢからＧに線を引いて、ＡＦ上にＨを∠ＢＧＨ＝９０°になるようにとる。

それでＢＧ＝ＨＧを証明せよという問題です。