重心の証明問題

質問

△ＡＢＣの重心をＧとするとき、
AB^2+BC^2+CA^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)
となることを証明せよ

という問題です。
２乗だから三平方？　とかいろいろ試したのですが、分かりませんでした。
考え方のヒントだけでもいいので分かる方お願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

中線定理を使えば簡単に示せます。

BCの中点をMとすると中線定理より
AB^2+CA^2=2(AM^2+BM^2)

AG=(2/3)AM,BM=(1/2)BCですから
AB^2+CA^2=(9/4)AG^2+(1/2)BC^2

B,Cを頂点とした式を立てて、全ての式を足し合わせると上記の式が得られます。

お礼

中線定理、というものがあるのですか。
知りませんでした。。。
調べてみましたが、やっぱり三平方が少し関係しているようですね。
素早く簡潔な回答、ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

＞２乗だから三平方？

座標を使えばそれでも解けるし、単なる計算問題に過ぎない。

Ａ(0、a)、Ｂ(-b、0)、Ｃ(c、0)とする。但し、a＞0、b＞0、c＞0.
三平方の定理より、（ＡＢ）＾2＝a＾2＋b＾2、（ＢＣ）＾2＝（b＋c）＾2、（ＣＡ）＾2＝a＾2＋c＾2.
従って、AB^2＋BC^2＋CA^2＝2（a＾2＋b＾2＋c＾2＋bc）‥‥(1)

重心Ｇ{（c-b）/3、a/3}であるから、（ＡＧ）＾2＝{（c-b）/3}＾2＋（2a/3）＾2、（ＢＧ）＾2＝{（c＋2b）/3}＾2＋（a/3）＾2、（ＣＧ）＾2＝{（2c＋b）/3}＾2＋（a/3）＾2。
よって、AG^2＋BG^2＋CG^2＝実際に計算して＝（2/3）*（a＾2＋b＾2＋c＾2＋bc）‥‥(2)

以上から、(1)と(2)により、AB^2+BC^2+CA^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)。

お礼

座標を使うと計算が面倒かな、とも思ったのですが、数学に対してその姿勢は間違っていましたね。
これを見ながら座標で計算してみたら、思ったより早く確かに答えに辿りつきました。

回答ありがとうございました！