中学2年 幾何 証明問題（三角形の重心）の解き方

質問

中学2年の子供の母親です。
子供の夏休みの宿題の答え合わせをしているのですが、恥ずかしながら、画像の問題の解き方がわかりません。
どのような証明をすれば良いか、教えていただきたく、よろしくお願いいたします。

宿題は保護者が答を確認した上で、提出することになっているのですが、親子で一緒に学習することが大事だという学校の方針で解答は配られていません。
参考書やネットを見ると、重心の証明の方法としては、三角形の内部に平行な線を引いて、平行四辺形の成立条件をつかう、というものはあるのですが、それがどのように画像の問題に当てはまるのか、あるいは別の証明方法があるのか、それすらも分からずにおります。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#222520 · ベストアンサー

ANo.1の回答者です。
自分も、ANo.1では「△ABPで中点連結定理により」と簡単に用いてしまいましたが、もしかするとまだ学習されていないのではないかと思い、補足するつもりでいました。

「中点連結定理」は、三角形の相似条件に基づくものなのですが、三角形の相似条件についてはよろしいでしょうか。
△ABPと△AFGにおいて、AB：AF=AP：AG=2：1、∠Aは共通なので、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、△ABP∽△AFG（相似比は2：1）であるから、∠B=∠F
これらの角は、直線FGとBPにABが交わってできる同位角になるので、FG//BP、相似比からBP=2FG
同様に、△ACP∽△AEG（相似比は2：1）であるから、EG//CP、相似比からCP=2EG
（以下ANo.1と同様）
したがって、GC//BP、GB//CPであるから、四角形GBPCは平行四辺形になります。
平行四辺形では、対辺が等しいから、BG：GE=PC：GE=2：1
同様にして、CG：GF=PB：GF=2：1
また、APとBCの交点をDとすると、Dは平行四辺形の対角線の中点であるから、BCの中点（BD=DC）で、ADは中線になります。
そして、2GD=GP=AGであるから、AG：GD=2：1

（別解）
(1)
△ABCと△AFEにおいて、AB：AF=AC：AE=2：1、∠Aは共通なので、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、△ABC∽△AFE（相似比は2：1）であるから、∠B=∠F
これらの角は、直線FEとBCにABが交わってできる同位角になるので、FE//BC
(2)
△GBCと△GEFにおいて、∠Gは対頂角、∠B=∠E（2本の平行線における錯角）なので、2角がそれぞれ等しく、
△GBC∽△GEF（相似比は2：1）であるから、BC：FE=BG：GE=CG：GF=2：1
(3)
直線FEとAGの交点をHとすると、△GBDと△GEHにおいて、∠Gは対頂角、∠B=∠E（上と同様）なので、2角がそれぞれ等しく、△GBD∽△GEH（相似比は2：1）であるから、GD=2HG
(4)
△ACDと△AEHにおいて、∠C=∠E（2本の平行線における同位角）、∠Aは共通なので、2角がそれぞれ等しく、△ACD∽△AEH（相似比は2：1）であるから、AH=HD
AG=AH+HG=HD+HD/3=4HD/3、GD=2HD/3、AG：GD=4HD/3：2HD/3=2:1
(5)
△GCAと△GFDにおいて、AG：GD=CG：GF=2：1、∠Gは対頂角なので、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、△GCA∽△GFD（相似比は2：1）であるから、∠C=∠F
これらの角は、直線DFとCAにFCが交わってできる錯角になるので、DF//CA
(6)
△BCAと△BDFにおいて、CA：DF=AB：AF=2:1、∠A=∠F（2本の平行線における同位角）なので、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、△BCA∽△BDF（相似比は2：1）であるから、BD=DC

※この解法では、点Pを用いません。

お礼

追記いただいた部分に、お礼を書いてしまいましたが、ふた通りも解説いただき、本当に勉強になりました。
改めてお礼申し上げます。

回答No.3

noname#222520

ANo.2の大勢には影響のない表記の訂正です。

（別解）
(4)下から1行目
誤：「AG：GD=4HD/3：2HD/3=2:1」→正：「AG：GD=4HD/3：2HD/3=2：1」
(6)上から1行目
誤：「CA：DF=AB：AF=2:1」→正：「CA：DF=AB：AF=2：1」

お礼

とても丁寧にご回答いただき、ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
学生時代に、私もこういった解説を聞ければ、数学が苦手にならなかったと思います。
子供と一緒に、しっかりと理解することができました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#222520

△ABCの中線BEとCFの交点をGとし、AGの延長上にAG=GPとなる点Pをとると△ABPで中点連結定理によりFG//BP、BP=2FG、同様にEG//CP、CP=2EG
したがって、GC//BP、GB//CPであるから、四角形GBPCは平行四辺形になります。
平行四辺形では、対辺が等しいから、BG：GE=PC：GE=2：1
同様にして、CG：GF=PB：GF=2：1
また、APとBCの交点をDとすると、Dは平行四辺形の対角線の中点であるから、BCの中点（BD=DC）で、ADは中線になります。
そして、2GD=GP=AGであるから、AG：GD=2：1

なお、点QまたはRをとって考えても同様です。

お礼

早速、丁寧な解き方を教えてくださり、ありがとうございました。
おかげさまで、大変よくわかりました。
子供にも、しっかりと説明したいと思います。
本当にありがとうございます。

補足

子供に説明をしていて気付いたことがあり、改めて質問させていただきます。

revenge_go様の説明はとてもわかりやすかったので、よく理解できたのですが、
子供の学校では、中点連結定理は2学期に習う項目だとわかりました。

今回の課題は、1学期の復習という位置づけのため、中点連結定理により、、、という展開は使えないのではないか、と思われます。
もともと、私が証明問題や定理が不得意なため、どの定理を使ってよくて、どれはダメなのか、きちんと説明できておらず、申し訳ございませんでした。

中点連結定理より、、、という言葉を使わずに証明する方法がございましたら、お知恵を拝借できますと幸甚です。
改めて、どうぞよろしくお願いいたします。