中学数学の相似の証明

質問

図がないとわかりづらいかもしれませんが、
この問題に1週間近く頭を悩ませています。
解答がないので、答えも不明でモヤモヤしています。

「BCを直径とする円Oがある。
　円周上の点AからBCへ垂線を引き、その交点をDとする。
　このとき、△ABD∽△CADであることを証明しなさい。」

仮定から、∠ADB＝∠CDA＝90°ということと、
半円の円周角だから、∠BAC=90°ということしか解りません（泣）

解き方を教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞∠ADB＝∠CDA＝90°　　　・・・・・・（０）
が分かっていますので、あと１つ対応する角の大きさが等しいことを言えれば証明できます。
　どちらでもいいですが、ここでは　∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＤ　であることを示します。

　△ＡＢＤにおいて、∠ＡＤＢ＝90°　なので、
　　∠ＡＢＤ＝90°－∠ＤＡＢ　　・・・・・（１）

　一方、∠ＢＡＣ＝90°　なので
　　∠ＣＡＤ＝90°－∠ＤＡＢ　　・・・・・（２）

　式（１）と（２）から
　　∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＤ　　・・・・・・・（３）

　（０）、（３）から△ＡＢＤと△ＣＡＤにおいて対応する2角の大きさが等しいので、
　　△ＡＢＤ∽△ＣＡＤ

お礼

早々のご回答ありがとうございます。
とても解りやすく納得いたしました。

回答No.4

mu2011

（１）∠ADB＝∠CDA＝90°ということと
（２）∠BAC＝90°なのだから、∠ABD＋∠BAD＝90°、∠CAD＋∠BAD＝90°よって、∠ABD＝∠CAD
（１）、（２）の２組の角が等しいから、△ABD∽△CADとなる。

お礼

早々のご回答ありがとうございます。
とても解りやすく納得いたしました。

回答No.3

DIooggooID

△ABCと△DBAとは、∠ABD を共有し、且つ、∠BAC＝∠BDA＝90度 であるから、互いに相似。

同様に、

△ABCと△DACとは、∠ACD を共有し、且つ、∠BAC＝∠ADC＝90度 であるから、互いに相似。

したがって、△DBA と △DAC とは、互いに相似。

お礼

早々のご回答ありがとうございます。
とても解りやすく納得いたしました。

回答No.2

Quattro99

△ABCと相似であることを示す方法もあります。

お礼

早々のご回答ありがとうございます。