数学の証明問題

質問

「aが無理数のとき、
a, 2a, 3a, … ,100aの少数部分は全て異なることを示しなさい。」

この問題は、どう証明すればよいのでしょうか。
学校では、数2までは一通り習ってるので、そこまでの知識で解けるようですが……
お願いします。

回答No.1

tsuyoshi2004 · ベストアンサー

仮にaの整数倍の数naとmaの小数部分が一致していれば、
na-maは整数となる。
na-ma=(n-m)aなので、
na-ma=Pとすると、
a=P/(n-m)
となる。
右辺のPも(n-m)も整数なので、aは有理数である。
従って、aが無理数であり限り、その倍数の小数部分は全て異なる。

お礼

ありがとうございます。
背理法を用いて証明するということですね。