数学の証明問題について

質問

証明の書き方についてアドバイスを頂けないでしょうか？

長野県の高校入試の過去問です。
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1辺の長さが5cmのひし形ABCDがあり、対角線DB=8cmである。
図のように、辺ABを１辺とする正三角形EBAをつくる。
さらに、点Pを線分BD上にとって、PAを一辺とする正三角形QPAをつくり、
点EとQ、点PとCを直線で結ぶ。ただし、点Pは、点B、Dとは異なる位置にあり、
点Qは直線PAについて点Eと同じ側にあるものとする。
図のように、点Qが、線分AB上になく、直線ABについて点Cと同じ側にあるとき、
△AEQ＝△ABPを証明せよ。
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例えば入試問題などで採点される場合に、
このような書き方だとどれくらい減点されるものなのでしょうか？
もちろん採点される方によるとは思いますが
ある程度の基準というか目安が知りたいです。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

かなり詳しく書かれていると思いますが、
始めに、
△ＡＥＱと△ＡＢＰにおいて　と書かれているので、
△ＡＥＱに関する辺や角は左辺に、△ＡＢＰに関するものは右辺に書くようにすればいいです。
（以下の（１）（２）（３）のところ）

ＡＱ＝ＡＰ（正三角形ＱＰＡより）……（１）
ＡＥ＝ＡＢ（正三角形ＥＢＡより）……（２）
角ＥＡＢ＝６０度（正三角形ＥＢＡより）
角ＱＡＰ＝６０度（正三角形ＱＰＡより）
角ＥＡＱ＝角ＥＡＢ＋角ＢＡＱ＝６０度＋角ＢＡＱ
角ＢＡＰ＝角ＱＡＰ＋角ＢＡＱ＝６０度＋角ＢＡＱ
よって、角ＥＡＱ＝角ＢＡＰ……（３）
（１）～（３）より
２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＥＱ≡△ＡＢＰ

のような感じでいいと思います。（これでもかなり詳しい方だと思います。）
できれば参考にして下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、たしかに
＞ＡＱ＝ＡＰ（正三角形ＱＰＡより）……（１）
と、どの正三角形かを明記した方が良いですね。
それと
＞△ＡＥＱに関する辺や角は左辺に、△ＡＢＰに関するものは右辺に書くようにすればいいです。
これもたしかにそうした方が良いですね。
参考になりました。

最近、数学の証明の問題に興味を持ち始めていまして、
というのも自分的にはなんとなくプログラミングと似ている感じがして

定数、変数の宣言　　　仮定の明示
メソッドの呼び出し　　　命題が使う「それぞれの条件」（？）の記述
サブルーチン　　　　　　「それぞれの条件」の証明
メインルーチン　　　　　命題の結論の記述

というふうに曖昧ですが自分ではそれぞれ対応してるのかなと思いました（どちらもそんなに詳しく知っているわけではないので、訂正があればお願いします）
ともかく書き方（見せ方）は自由というところに魅力があるというか
悩むというか^^;）

ただ数学の証明の問題の場合は、
書き方や省略の仕方によって減点される可能性がある（？）かもしれないので、
それのおおよその基準というかこういう書き方はNGとかあるならば知りたいと思いました。
特に自分が知りたいと思ってることは

・それぞれの証明の場所で、辺や角を○や◎で囲んでいますが、
これは２つのどの辺や角を左右＝に導けば良いのか自分が見て分かりやすい
ように付けたものです。ですので本来なら消した方が良いのでしょうが、
これはそのまま残しても大丈夫（例えば減点されない）なのでしょうか？

・それぞれの証明の場所内では、数字の番号に□１や□2を使って
それ以外の範囲では○１や○2などの番号で使い分けているのですが、
なんとなくこっちのやり方の方が見やすくし分かり易いのかなと思いした（プログラミンでいうグローバル変数とローカル変数）
これも大丈夫なのでしょうか？
ただこのぐらいの証明の規模（大きさ）なら分ける必要はないと思いますが。。一応。

・下の画像の○2の最後で、「□4に（○１の□1）を代入」
と○１の証明内の□1（AE=AB（∵仮定）・・・○１）を見てくださいという意味で書いたのですが、
このような記述も大丈夫なのでしょうか？

・質問の添付した画像の○3の□2は思考プロセスを残して置いていたのですが、
これも本来なら消した方が良いのでしょうが、残しておいても大丈夫なのでしょうか？

・補助的な絵とかは書いても良いのでしょうか？

その他にも何かアドバイスできるところがあれば頂けないでしょうか？

もう記述した内容を添付する場所がないので別のアップローダーを使わせて頂きたいのですが、
下記のURLの画像を見てください（これはまだferienさんからアドバイス頂いた左辺右辺に分けた書き方ではないので申し訳ないのですが・・・）
http://www.uproda.net/down/uproda442323.jpg

回答No.4

ferien

お礼ありがとうございます。

＞>必要なことはきちんと入れて、できるだけ簡潔に書くのがいいようです。
＞たしかに人に見せるものですから、簡潔に書いた方が良いですよね。
＞自分としてはあえてこういう書き方をしてみたというのもあるのですが、
＞「必要なこと」の基準が例えば入試とかで採点する人によって
＞当たり前ですけど違うんじゃないかな？と自分は思っているのです。
入試の場合は誰が採点するか分からないので、採点者が厳しい人ということを想定して、
日頃から減点されないような証明の書き方を心がける方がいいと思います。

＞例えば、
＞
＞ＢＦ＝ＡＤ（仮定より）……（ア）
＞ＡＢ＝ＡＥ（仮定より）……（イ）
＞よって、（ア）（イ）より、
＞ＡＦ＝ＢＦ－ＡＢ＝ＡＤ－ＡＥ＝ＤＥ……（２）
＞
＞ここの部分は
＞仮定が　ＢＦ＝ＡＤ　ＡＢ＝ＡＥ　と分かりきっているので
＞いちいちそれを記述しなくていきなり
＞
＞>ＡＦ＝ＤＥ
＞
＞というふうに結論づけて省略しちゃってもいいのかな？
＞と思ってしまうのです。
ＡＦ＝ＤＥは、仮定ＢＦ＝ＡＤ　ＡＢ＝ＡＥがあって初めて成り立つことであって、
単独で、ＡＦ＝ＤＥが仮定されているわけではないので、　
きちんと記述した方がいいと思います。
画像で提示された問題の中でも、この部分の記述は与えられていて、残りの部分を証明する
形になっていたと思いますが、その中の記述のように簡単でも、

ＢＦ＝ＡＤ（仮定より）
ＡＢ＝ＡＥ（仮定より）
よって、ＡＦ＝ＤＥ……（２）

の程度は記述した方がいいと思います。

分かっていることを書かなかったために減点されてしまうほど残念なことはないので、
誰が読んでも分かるように書くことも大切だと思います。

何を書いて何を省略してもいいのか分からない場合のために、
証明の解答例を参考にすることが必要になります。
解答例は、答え合わせのためだけでなく、証明の書き方に慣れるために活用すればいいと思います。
良いと思った書き方をたくさんマネして下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
たしかに誰が読んでも分かるように書いた方が良いし、そうすべきですね。
いろいろ参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.3

ferien

お礼をありがとうございます。

三角形の合同の証明の記述で必ず入れなければならないのは、

△●●●と△○○○において
条件（１）
条件（２）
条件（３）
（１）～（３）より、合同条件
△●●●≡△○○○

これらがきちんと書かれていれば、
具体的な説明についてはある程度自由に記述してもいいと思います。

画像添付された証明は、かなり詳しく書かれていて、考え方がよく分かっていいのですが、
証明の書き方としては、
「～に代入」という記述や図を入れるということは普通はしません。

△ＡＥＦと△ＤＣＥにおいて
ＡＥ＝ＡＢ（仮定より）
ＡＢ＝ＤＣ（平行四辺形の対辺より）
よって、ＡＥ＝ＤＣ……（１）
ＢＦ＝ＡＤ（仮定より）……（ア）
ＡＢ＝ＡＥ（仮定より）……（イ）
よって、（ア）（イ）より、
ＡＦ＝ＢＦ－ＡＢ＝ＡＤ－ＡＥ＝ＤＥ……（２）
角ＦＡＥ＝角ＥＤＣ（ＦＢ平行ＤＣより錯角が等しい）……（３）
（１）～（３）より、２辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ＡＥＦ≡△ＤＣＥ

（２）は詳しく書きました。（３）の角の説明はこの程度でいいと思います。
必要なことはきちんと入れて、できるだけ簡潔に書くのがいいようです。
最初のうちは問題集の解答例などをマネして書いてみて下さい。
しだいに自分なりの書き方が身についていくと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞「～に代入」という記述や図を入れるということは普通はしません。
なるほど、参考なりました。

＞必要なことはきちんと入れて、できるだけ簡潔に書くのがいいようです。
たしかに人に見せるものですから、簡潔に書いた方が良いですよね。
自分としてはあえてこういう書き方をしてみたというのもあるのですが、
「必要なこと」の基準が例えば入試とかで採点する人によって
当たり前ですけど違うんじゃないかな？と自分は思っているのです。
例えば、

ＢＦ＝ＡＤ（仮定より）……（ア）
ＡＢ＝ＡＥ（仮定より）……（イ）
よって、（ア）（イ）より、
ＡＦ＝ＢＦ－ＡＢ＝ＡＤ－ＡＥ＝ＤＥ……（２）

ここの部分は
仮定が　ＢＦ＝ＡＤ　ＡＢ＝ＡＥ　と分かりきっているので
いちいちそれを記述しなくていきなり

ＡＦ＝ＤＥ

というふうに結論づけて省略しちゃってもいいのかな？
と思ってしまうのです。

おそらくそれは駄目だというのは分かるのですが、
人（レベル）によっては「そんなのは暗黙の了解で省略しちゃってもいいよ」
というのがあるのかなと。。。？
それともそこはどんな場合でも仮定を記述しなきゃいけない明確な理由があるのでしょうか？
ちょっと（かなり^^;）説明が分かりづらいからもしませんが、もう一度お答え頂けないでしょうか？

回答No.1

asuncion

～を証明せよ、のところにある等号の意味がわかりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
すいません、、間違えてました・・・
正しくは

△AEQ≡△ABPを証明せよ。

でした