剰余類の証明

質問

こないだ

特定のa∈群Gに対し
∀h ∈H ∃h' ∈H　HはGの部分群
ah=h'a
が成立すれば、
aH=Ha
と言えるのか？

という質問をした者なのですが、もう一度質問させていただきます。

自分なりに考えて見たところ、

∀h　∃h' 　　　ah=h'a
が成立するなら勿論

ah=h'h^(-1)ha

h'h^(-1)=g∈Hとすると

ah=gha

と常になることになります。

と言う事は、
aH={ah l h∈H}={gha l h∈H｝

となるはずです。
ですが
｛gha　l h∈H｝　は　｛ha l h∈H}=Ha
と同等であるため　（gha=h'a∈Ha => gHa⊆Ha, ha=g(g^(-1)h)a∈gHa => Ha⊆gHa)
aH=gHa=Ha

となる。

という証明を考えついたのですが、

これはあっているのでしょうか？

真贋の判定よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

gはhに依存するhの関数
g=g_h=h'h^{-1}
だから
{gha|h∈H}={(g_h)ha|h∈H}
と
gHa=(g_h)Ha={(g_h)ka|k∈H}
が
同等かどうかの証明が欠落していますので
真とはいえません。

お礼

回答ありがとうございます。

数学初心者なので、とんだ勘違いをしているのかもしれませんが、
確かにgはhに依存していますが　（h^(-1)はhにより決定されるため)、何故g=g_hとなるのでしょうか？
(そもそもg_h とはどう言う意味なのでしょうか；；

{gha|h∈H}={(g_h)ha|h∈H}
と
gHa=(g_h)Ha={(g_h)ka|k∈H}
が同等であるかの証明が必要とありますが、

{gha|h∈H}の時点で、この集合は定義からgHaと同等なのに、
何故わざわざ
gHa=(g_h)Ha={(g_h)ka|k∈H}
と書いて、{gha|h∈H}と同等だと示さなくてはならないのでしょうか。。

補足

もう一度よく考えたところ、
gHa=(g_h)Ha={(g_h)ka|k∈H}
と書かなければいけない理由を理解しました。

んー。。ということは、
特定のa∈群Gに対し
∀h ∈H ∃h' ∈H　HはGの部分群
ah=h'a
が成立したとしても
aH=Ha
と言えない、と言う事なんでしょうか。。

しかし、
∀h ∈H ∃h' ∈H　ah=h'a
ならば、
aH⊆Ha
となり、Hがもし有限ならばラグランジュの定理により、aHとHaの要素数は同じですから
aH=Ha (aHはHaに含まれるが、両者は同じ要素数のため)
となり、最低でも有限ならば、aH=Haは成立しているように思えるのですが、どうでしょうか。。

後
g=g_hの意味も出来れば教えていただきたいです。