同型の証明です。

質問

群論の問題なのですが…

整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおき
これを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。

２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、
写像 φ : G → H を
φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by
により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。

(１)φは群の同型写像であることを示す。
(２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。
(３)GのKによる剰余群 G / K に対して群の同型
G / K ≅ Z / mZ × Z / nZ
がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。

(１)、(２)は示すことができました。
(３)の証明の方法がよくわかりません…

できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

K は x, y で生成される H = φ(G) ではなくて、K = φ(H) = φ(φ(G)) ですよね。
(K = H = φ(G) の場合は 回答 No.1 で良いはず。)

示し方は色々あると思いますが、流れの一例を以下に載せます。正しく示すには、途中省略している部分や飛躍している部分をちゃんと示す必要があるかと思います。

○先ず H の基底を調整して見やすくする:
H = { (2a+6b, 4a+8b) | a, b ∈ Z}
= { 2 (a+3b) (1, 0) + 4 (a+2b) (0, 1) | a, b ∈ Z}
= { 2 c (1, 0) + 4 d (0, 1) | c, d ∈ Z}
　　　(∵(c, d) = (a+3b, a+2b) とした。(c,d) (∈Z^2) と (a,b) (∈Z^2) は1対1対応する(略))
= 2Z×4Z.

(コメント: これは見やすく(後の計算・試行錯誤を簡単に)しているだけなので、やらなくても良い。)

○次に K = φ(H) の基底を調整して見やすくする:
K = { φ((2c, 4d)) | c, d ∈ Z}
= { (4(c+6d), 8(c+4d)) | c, d ∈ Z}
= { 4(c+6d) (1,2) - 16d (0,1) | c, d ∈ Z}
= { 4 c' z + 16 d' w | c', d' ∈ Z}
　　　(∵z = (1,2), w = (0,1), (c', d') = (c+6d,-d) とした。(c,d) (∈Z^2) と (c',d') (∈Z^2) は1対1対応する(略))
= 4 Z z + 16 Z w.

○そして G を同じ基底で表してみる:
G = { (a, b) | a, b ∈ Z}
= { a (1, 2) + (b-2a) (0, 1) | a, b ∈ Z}
= { a z + c w | a, c ∈ Z}
　　　(∵ c = b-2a とした。(a, b)∈Z^2 と (a, c)∈Z^2 は1対1対応する(略))
= Z z + Z w.

(コメント: 実は、K の箇所で z, w を選ぶ時点で、G が z, w で生成できる様に考えて選んだ。)

○よって、
G/K = (Z z + Z w)/(4 Z z + 16 Z w)
= (Z/4Z) z + (Z/16Z) w
≅ Z/4Z × Z/16Z.

m = 4, n = 16

お礼

細かい説明までありがとうございました。

とてもわかりやすかったです!

回答No.1

sunflower-san

K の生成元を分かりやすいものに取り替えましょう。

z = - 2x + y = (2, 0),
w = 3x - y = (0, 4) ......(☆)

とおくと、

x = z + w,
y = 3z + 2w ......(★)

(☆)より、
Z z + Z w ⊂ Z x + Z y

(★)より、
Z z + Z w ⊃ Z x + Z y

よって、
(K =) Z x + Z y = Z z + Z w ( = 2Z×4Z)
(←単に同型という意味でなく、K =「第1成分が偶数、第2成分が4の倍数、というZ×Zの部分集合(もちろん部分群になる)である」ということ)

よって、
G / K
≅ (Z×Z)/(2Z×4Z)
≅ Z/2Z × Z/4Z

m が n の約数となるようにとると、m = 2, n = 4

補足

丁寧な解答、ありがとうございます。

一番最初,xとyはどのようにとるのか
教えていただきたいです。