余剰類について分かりません。
正規部分群を勉強していて思ったのですが、
部分群H、a∈群G に対して
右余剰類 aH と左余剰類Ha が同じ場合
aH=Ha
ですが、
h,h' ∈Hとして
ah=h'aが全てのh∈Hに対して満たされる時、
aH=Haとしていいのでしょうか?
というのも、
∀h∈H ah=h'a
であれば、aH⊆Ha
となるのは明確ですが、
Ha⊆aHをどう証明すればいいのか分かりません。
もし、Hが正規部分群であれば、
ha=a (a^-1ha)=ah'
となり、Ha⊆aH
と出来ますが、ここではそう言った前提ではないため、
簡単にa^-1ha∈Hであるとは言い切れない気もするのですが、
そうでないと、aH=Haと出来なくなってしまいます。
仮にaH=Haと出来ないとすると
ah=h'a
で、もしah1とah2がh'aだとした場合、
ah1=h'a=ah2 => ah1=ah2 => h1=h2
となり、一対一の関係であるといえます。
が、
aHとHaは同じ要素数のはずなので、一体一の関係があるとすれば、
∀ah=h'a
が満たされた場合
hとh'は一体一の関係があるため、aH=Haになると思うのです。(この考え方はあっているのでしょうか??)
しかし、どうしても
Ha⊆aH もしくはa^-1ha∈H であると証明出来ません。。
わかりずらい質問で申し訳ありません。
どなたか分かる方よろしくお願いします。