剰余類の問題なんですが・・・

質問

群Ｇの部分群Ｈを法とする左右の剰余類の個数は有限ならば等しくなることを証明せよ。という問題なんですがいまいち証明の仕方がわかりません！実際に例えば位数１２の群を考えて乗積表をかいて部分群Ｈを与え剰余類を計算すると確かに右と左では個数が同じというのはわかるのですが証明となるとどうしていいのか・・・何かアドバイスありましたらよろしくお願いいたします！！

回答No.2

Hyper30 · ベストアンサー

右剰余類を　G/H
左剰余類を　H\G
と書くことにします(左右逆かも？)．

写像　f : G/H →　H\G　を f(aH)=Ha ただし a ∈ H
で定めます．
f が well-defined, すなわち

aH = bH のとき，f(aH) = f(bH)

であることは，剰余類の判定条件
(aH = bH ⇔　a^(-1)b ∈ H)
から分かる(右剰余類についても同様の判定条件があるからそれをあわせて)．

f が全単射であることをいえば証明できます．

全射性：
G/H, H\G の定義から明らかです．

単射性：
a,b ∈ H に対して，

Ha = Hb ならば　aH = bH

を言えばよい．

剰余類の定義から，ある h ∈ H　で

ha = b

とできる．したがって，

b^(-1)a = h^(-1) ∈ H

が成り立つ．
よって aH = bH.
(剰余類が等しくなる判定条件をつかった)

証明終わり．

単射の証明をすこし詳しく書きましたが，
単射性と well-definedness は
まったく同じ議論です．

なお＃１の方の回答を参考にする際には
5番目の同値と続く2つの式がやや意味がわからないのと，
(おそらくミスタイプをされたのでしょう)
Gが有限群でない場合には
(その場合でも集合G/Hの元の個数は有限の可能性もある)
証明されてないことに留意したほうがよいかと思われます．

回答No.1

Mell-Lily

群Gの部分群をHとすれば、
　aH=bH
　⇔ a^(-1)aH=a^(-1)bH
　⇔ eH=a^(-1)bH
　⇔ H=a^(-1)bH
　⇔ HH^(-1)=a^(-1)bHH^(-1)
　⇔ H=a^(-1)be
　⇔ H=a^(-1)b
　⇔ Ha=a^(-1)ba
　⇔ HHa=Ha^(-1)ba
　⇔ Ha=Ha^(-1)ba.
したがって、aを代表元とする左剰余類の一類に属する元の個数とaを代表元とする右剰余類の一類に属する元の個数は等しい。また、
　aH=bH
　⇔ a^(-1)aH=a^(-1)bH
　⇔ eH=a^(-1)bH
　⇔ H=a^(-1)bH
　⇔ a'H=a'a^(-1)bH.
したがって、左剰余類の個々の一類に属する元の個数は、一定。以上から、右剰余類と左剰余類の個数は等しい。　q.e.d.