群の証明

質問

H,KをGの部分群とする。HKがGの部分群となるためにはHK＝KHであることが必要かつ十分であることを示せ。
この命題の十分性は分かるんですけど、必要性はどうやって証明したらよいでしょうか？

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

任意のh∈Hかつk∈Kについて
h^(-1)・k^(-1)∈HK
HKが群だからその逆元もHKに含まれるから
(h^(-1)・k^(-1))^(-1)=k・h∈HK
すなわちKH⊂HK
よってk^(-1)・h^(-1)∈KH⊂HKだから
k^(-1)・h^(-1)=h'・k'なるh'∈H,k'∈Kが存在。
よって
h・k=(k')^(-1)・(h')^(-1)∈KH
すなわちHK⊂KHすなわちKH=HK

お礼

早速の回答ありがとうございます。この問題はちょうど交換子をやった後だったんですよ。これですっきりです。