可解群の補題の証明

質問

NをGの正規部分群とするときGが可解であるためには、NおよびG/Nが
ともに可解であることが必要十分である。
ということの証明で分からない部分があります。
どなたかご教授願います。
証明
必要性：
G＝G_0⊃G_1⊃・・・⊃G_r＝｛１｝、G_i/G_(i-1)：アーベル
という部分群列をとる。
φ：G→G/N　を自然な全射とφ（G_i）＝H_i　とおけば
(G/N)＝H_0⊃H_1⊃・・・⊃H_r＝｛１｝
となる。
また、各iについてφは自然に
φ_iなる全射準同型を引き起こす。
したがってH_(i-1)/H_i：アーベル群となる。
Nの可解性はG：可解群⇒Gの任意の部分群は可解ということで証明が
略されています。

「この証明のまた、各iについて～アベール群となる。までの部分が
良く分かりません。」

もう一つ十分性の証明でも分からないところがあります。

十分性：
N、G/Nは可解
N＝N_0⊃N_1⊃・・・⊃N_s＝｛１｝ N_(i-1)/N_i：アーベル
(G/N)＝H_0⊃H_1⊃・・・⊃H_t＝｛１｝ H_(i-1)/H_i：アーベル
なるものがとれる。
こととき、自然な全射φ：G→G/NによるH_iの逆像をG_iとおけば
G＝G_0⊃G_1⊃・・・⊃G_t＝N
さらに、φは自然に同型、G_(i-1)/G_i＝H_(i-1)/H_iを引き起こすから
上記Nの部分群列と併せて、Gの可解性が導かれる。

「この証明は最後から2行目のさらに～の自然に同型を引き起こす
というところがわかりません。」
「」の2箇所をどなたか解説していただけたら幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

先日も、これと類似の質問（ちょっと違うが）に回答した記憶がありますが・・・。同じ質問に何度も回答するのは控えますが、質問内容が少し違うので、回答させて下さい。

必要性の部分について
φ_i：G_(i-1)/G_i→H_(i-1)/H_i
ですから、この全射準同型φ_iは第三同型定理により、同型写像になります。したがって、H_(i-1)/H_i：アーベル群となります。

十分性の部分の「さらに～自然に同型を引き起こす」も第三同型定理です。

全体を通して、この証明は、非常にクリアで、分かりやすい証明だと思います。

ちょっと気になることは、
「具体的にはgG_i∈G_(i-1)/G_i →　hH_i∈H_(i-1)/H_i」の部分です。gとhの関係が不明瞭であることです。

お礼

ご説明ありがとうございます。
第三同型定理を用いるということなのですね。
さらに初歩的なことなのかもしれないのですが、
φ_i：G_(i-1)/G_i→H_(i-1)/H_iという準同型写像が自然に引き起こされるという部分についてですが、自然に引き起こされるというのが良くわかりません。
φからどのように自然に出来ているのでしょうか？

回答No.3

koko_u_u

＞gG_i∈G_(i-1)/G_i →　hH_i∈H_(i-1)/H_i
＞といった感じなのでしょうか？

「φから引き起こされる」という点をもう一度考えましょう。

回答No.1

koko_u_u

φ_i の定義がどうなるか考えて補足にどうぞ。

勉強していくうちに、「自然に引き起こされる」という感覚がわかってくると思います。

補足

φ_i：G_(i-1)/G_i→H_(i-1)/H_i
が抜けていました。
すみません。
具体的には
gG_i∈G_(i-1)/G_i →　hH_i∈H_(i-1)/H_i
といった感じなのでしょうか？