有限群が自由加群でないことの証明

質問

田村の「トポロジー」を勉強しています。その中で次のような証明がありました。
"Gを有限群とするとき、aをGの任意の元とするとta=0となる整数tが存在するからGは自由加群ではない"
しかし、この証明でなぜ自由加群でないことを証明できたのか分かりません。また、t=0とすれば自由加群でなくても成立は明らかだと思います。
アドバイスをお願いします。

回答No.4

ojisan7 · ベストアンサー

>ta=0となるt≠0が存在することは分かるのですが、なぜそこから自由加群でないことが導けるのでしょうか？

「導く」というよりは、「ta=0となるt≠0の存在」そのものが、Ｇが自由加群でないことを意味しています。
「自由加群」の定義にはいろいろな、流儀がありますが、eibuさんが習った定義はどんなものですか？その定義に照らし合わせて、考えてくださいね。

お礼

aを基としたときその係数が一意でないから自由加群ではないのですね。
やっと理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>t=|G|ということは常に|G|a=0が成り立つということだと思うのですが、
>これは必ずしも成り立たないのではないでしょうか？
群論の参考書を開けば必ず出てくる基本的な定理です。

(証明)
a ∈ G から生成される巡回群を H = <a> ⊆ G とすると、ラグランジュの定理から |H| は |G| を割り切る。よって |H|a = 0 より |G|a = 0

お礼

群論の理解不足でしたが、理解できました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

教科書の誤植はよく見られることです。でも、ほとんどの場合、丁寧に読めば、どの箇所が誤植なのかは容易に見つけられますね。
「ta=0となる整数tが存在するから」→「ta=0となる整数t≠0が存在するから」
と、訂正すればよいでしょう。

補足

ta=0となるt≠0が存在することは分かるのですが、なぜそこから自由加群でないことが導けるのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

t として G の位数 |G| を考えているのでしょう。

補足

t=|G|ということは常に|G|a=0が成り立つということだと思うのですが、これは必ずしも成り立たないのではないでしょうか？