三角関数の積分計算

質問

面積計算の解答一部抜粋です。
添付画像の二行目から四行目にかけて、どのような公式が適用されているのかわかりません。
どなたか分かる方、解説をお願いします。

回答No.1

banakona · ベストアンサー

置換積分です。

∫（１＋ｓｉｎ^2ｘ）（ｓｉｎｘ）'ｄｘ　・・・（Ａ）

で　ｔ＝ｓｉｎｘ　と置換すると、　ｄｔ／ｄｘ＝（ｓｉｎｘ）’
つまり　　ｄｔ＝（ｓｉｎｘ）’ｄｘ
となるので、　（Ａ）は　　∫（１＋ｔ^2）ｄｔ
となる。　　これを計算すると　　ｔ＋ｔ^3／３　　（積分定数Ｃは省略）
元に戻して　　ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ^3／３　

2番目のｃｏｓｘの方も同様。

被積分関数がある式（上記例ではｓｉｎｘ）に関する式と、その式の導関数（上記例では（ｓｉｎｘ）’）の積で表される場合、いちいち「ｔ＝ｓｉｎｘ」と置換せずに、横着をして上記のような計算をします。
つまり、このような形をしている場合、導関数の部分を一つの変数と見なして、その変数（上記例ではｓｉｎｘ）に関して積分をすればいいことになる。

こうすると定積分の場合、範囲をｘからｔに置き換えなくていいので便利。

回答No.2

notnot

2→3

(sinx)^2 + (cosx)^2 =1
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx

3→4

普通の式の展開
微分して積分すると元に戻るという当たり前のこと
合成関数の微分