（n-k）乗とシグマの計算

質問

解答の一部抜粋です。
添付画像の計算がどうしてこうなるのか分かりません。
わかる方、解説お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

2項定理そのものではないですか？

2項定理
http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/nikoteri.html
で
a=1,b=1/2と置きΣの形で書けば
(1+1/2)^n=Σ[k=0,n] nCk 1^k (1/2)^(n-k)=Σ[k=0,n] nCk(1/2)^(n-k)
となりますね。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

えーと

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^3

ここまではよいでしょうか。これを一般化すると

(a+b)^n = ΣnCk a^kb^(n-k) (k=0～n)

つまり和の積を分配則で積和の形に直すとき、
a^kb^(n-k) の係数は、和の中から a を k 個選ぶ、
つまり n 個から k個選ぶ組み合わせの数になります。

で、

a=1, b=1/2 とすると

(1+1/2)^n = ΣnCk (1/2)^(n-k) (k=0～n)

以上です。