定積分の面積計算に関して。

質問

面積を求める問題で、
参考書には計算過程は何も書かずに

∫[0→1]x(x-1)(x-a)dx＝（1/6)a－(1/12）

というように書かれていました。

これは普通に求めるのではなく、
何か公式のようなものがあるのでしょうか？
（「-a/6(β-α)^3 」公式は知っていますが・・・。）

回答No.3

lick6 · ベストアンサー

＃２です。すみません、すこし間違ってました
∫[α→β] (x-α)(x-β)(x-γ) dx
= 1/12 * (β-α)^3 * (2γ-α-β)

証明を一つ紹介いたします。
∫[α→β] (x-α)(x-β)(x-γ) dx
= ∫[α→β] (x-α){(x-α)-(β-α)}{(x-α)-(γ-α)} dx
= ∫[α→β] {(x-α)^3 - (x-α)^2(β+γ-2α) + (x-α)(β-α)(γ-α)} dx
= [1/4 * (x-α)^4 - 1/3 * (x-α)^3(β+γ-2α) + 1/2 * (x-α)^2(β-α)(γ-α)][α→β]
= 1/4 * (β-α)^4 - 1/3 * (β-α)^3(β+γ-2α) + 1/2 * (β-α)^3(γ-α)
= 1/12 * (β-α)^3{3(β-α) - 4(β+γ-2α) + 6(γ-α)}
= 1/12 * (β-α)^3 * (2γ-α-β)

回答No.2

lick6

確かではないのですが
∫[α→β] (x-α)(x-β)(x-γ) dx
= -a/12 * (β-α)^3 * (2γ-α-β)
みたいなのがあったと思います。

回答No.1

kabaokaba

公式はあるんですが，
普通に計算して，出すことができるのが最重要です．
普通の計算で的確に出せれば，不要といえば不要ですので．

∫[0→1]x(x-1)(x-a)dx
=∫[0→1]x^2(x-1)dx - a∫[0→1]x(x-1)dx

とすれば，後ろの方の積分から (1/6)a がでてきます．
前の方の
∫[0→1]x^2(x-1)dx
は次の式からでてきます

∫[a→b] (x-a)^2(x-b)dx = -(1/12)(b-a)^4

この手の式は
∫[a→b] (x-a)^m (x-b)^n dx
という一般式が簡単に表現できます．
質問者さんが「部分積分」を知ってて
なおかつ，漸化式を使えるのであれば
比較的簡単に導出できます．