積分計算で行き詰まってます

質問

(1)∫上がπ下が０　（-9sinTcosT-9sin^2T+27sin^2TcosT)dT

(2)∫上がπ/2 下が０　T×（-sinT） dT

という二つの計算なんですが、

(1)が二倍角の公式を必ず入れて計算するとしたらどのような計算になりますか？（-9sin^2Tは半角の公式になってしまって構いません）

(2)は普通に計算するときはどうすればよいのでしょうか？

二式共に途中式含めた解説もお願いします。
お時間頂き申し訳ないですが、宜しくお願いします。

回答No.1

alice_44

(1)
∫(-9sinTcosT-9sin^2T+27sin^2TcosT)dT
= ∫(-9sinTcosT+27sin^2TcosT)dT + (-9)∫(sin^2T)dT

-9sinTcosT+27sin^2TcosT の積分については、
s = sinT で置換積分すれば多項式の積分になるので、
残る sin^2T の積分に倍角公式を使えばいいでしょう。

cos(2T) = 1-2(sinT)^2 ですから、
∫(sin^2T)dT = ∫(1/2){1-cos(2T)}dT
= (1/2)∫dT - (1/2)∫cos(2T)dT です。

(2)
部分積分を使って、被積分関数に T× が無くなるように
すればよいかと思います。

∫{T(-sinT)}dT
= T(cosT) - ∫{1(cosT)}dT です。