積分計算と極限

質問

添付画像の積分計算なのですが、途中で行き詰まってしまいました。
助けてください。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

すいません．計算間違いしていました．

∫_{-1}^1|x|{1+x^2/3+x^4/5+・・・+x^{2n}/(2n+1)}dx
=2∫0^1x{1+x^2/3+x^4/5+・・・+x^{2n}/(2n+1)}dx
=2∫0^1{x+x^3/3+x^5/5+・・・+x^{2n+1}/(2n+1)}dx
=2∫0^1{x^2/(1・2)+x^4/(3・4)+x^6/(5・6)+・・・+x^{2n+2}/{(2n+1)(2n+2)}}dx
=2{1/(1・2)+1/(3・4)+1/(5・6)+・・・+1/{(2n+1)(2n+2)}}
=2Σ_{k=0}^n{1/(2k+1)(2k+2)}
=2{(1/1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+・・・+{1/(2n+1)-1/(2n+2)}}
=2{(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+・・・+1/(2n+1)-1/(2n+2)}
=2Σ_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k-1}/k

（★）∫_{-1}^1|x|{1+x^2/3+x^4/5+・・・+x^{2n}/(2n+1)}dx=2Σ_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k-1}/k

ここで級数展開

1/(1+ｔ)=1-t+t^2-t^3+・・・・(|t|<1)

を項別積分すると，

∫_0^xdt/(1+t)=Σ_{k=1}^∞(-1)^{k-1}∫_0^xt^{k-1}
=Σ_{k=1}^∞(-1)^{k-1}[t^k/k]_0^x=Σ_{k=1}^∞(-1)^{k-1}(x^k/k)

また

∫_0^xdt/(1+t)=log(1+x)

だから

log(1+x)=Σ_{k=1}^∞(-1)^{k-1}(x^k/k)　(|x|<1)

この式でx→1-0とするとAbelの定理より

（☆）Σ_{k=1}^∞(-1)^{k-1}(1/k)=log2

がなりたちます（大学教養数学を使いました）．よって★，☆より

lim_{n→∞}∫_{-1}^1|x|{1+x^2/3+x^4/5+・・・+x^{2n}/(2n+1)}dx
=lim_{n→∞}2Σ_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k-1}/k=2Σ_{k=1}^∞(-1)^{k-1}(1/k)=2log2

となります．

お礼

ちょいとAbelの定理見てきます。

大学教養ということは大学受験には使えそうにはありませんね;;

回答感謝します！

回答No.3

kabaokaba

画像の式の下から二行目，係数の2おちてないです？

何はともあれ・・・交代調和級数というのを調べると幸せになれます．
ぶっちゃけた話，log(1+x)を原点中心にTaylor展開してから
x=1を代入すればたぶんOK
計算をフォローはしてないけど
これで 2log(2)はでてくるはず．

お礼

係数２がとれてました;;すいません。

テイラー展開って大学受験で用いて良いのでしょうかね。
それを含めてググってきます。

回答ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

積分範囲を 0 の前後でわけてそれぞれ計算した方が簡単かも.

お礼

もちろん、試行錯誤する際に試したのですが、この状況よりも悪化してしまいました。

回答No.1

ereserve67

極限をとる前の積分は

2{1/1・2+1/2・3+・・・+1/(2n+1)(2n+2)}
=2Σ_{k=1}^{2n+1}{1/k(k+1)}
=2Σ_{k=1}^{2n+1}{1/k-1/(k+1)}
=2{1/1-1/(2n+2)}
=2-1/(n+1)→2(n→∞)

お礼

n→∞ということは、最後まで解いていただけたのでしょうか。
実は答えは2log2になるはずなのです;;