三角関数について

質問

θの関数
　f(θ)=sin2θcosθ＋cos2θ-1
　　(0≦θ＜2π)
とする。
x=sinθ,y=(θ)とおくと,
y=-2x^3-2x^2＋2xと表せる。
とありますが、加法定理で解こうと思ってもうまくまとめれなくて解けませんでした。
どのように解けばいいのですか。
また添付画像の問題(特にエオカキ)も解説していただれば嬉しいです。

回答No.2

egarashi · ベストアンサー

f(θ)=sin2θcosθ+cos2θ-1 (1)

を全てsinθで表します。まず、
sin2θ=2sinθcosθ (2)
cos2θ=1-2(sinθ)^2 (3)

を(1)に代入します。
f(θ)=2sinθcosθ・cosθ+1-2(sinθ)^2-1
=2sinθ(cosθ)^2-2(sinθ)^2 (4)

ここで、
(cosθ)^2=1-(sinθ)^2 (5)

であるので、これを(4)に代入します。
f(θ)=2sinθ{1-(sinθ)^2}-2(sinθ)^2
=2sinθ-2(sinθ)^3-2(sinθ)^2
=-2(sinθ)^3-2(sinθ)^2+2sinθ (6)

(6)に、
x=sinθ (7)

を代入すればOK♪
y=f(θ)=-2x^3-2x^2+2x (8)

次に、最大値と最小値の話ですが、xの範囲が(7)より、
-1≦x≦1 (9)

に限られてるんで、三次関数で最大値と最小値が存在するんですね。
(8)をxで微分しましょう。
dy/dx=-6x^2-4x+2
=-2(3x^2+2x-1)
=-2(x+1)(3x-1) (10)

(10)より、dy/dx=0となる(yが極値をとる)時、
x=-1,1/3 (11)

ですよね？
ここで、増減表を書きます。
…自分で書いてください。
-1<x<1/3では、
dy/dx>0 (12)

になるんで、この区間でyは単調増加してます。
1/3<x≦1では、
dy/dx<0 (13)

になるんで、この区間でyは単調減少してます。
x=1/3を境に単調増加から単調減少に切り替わってるんで、x=1/3の時にyが最大になります。
なので(8)より、
(yの最大値)=-2(1/3)^3-2(1/3)^2+2(1/3)
=-2/27-2/9+2/3
=-2/27-6/27+18/27
=10/27 (14)

これがエ～キにハマるわけですわ♪
最小値は、x=-1の時かx=1の時やから、それぞれ(8)に代入してみればいいですよね？
x=-1の時、
y=-2(-1)^3-2(-1)^2+2(-1)
=2-2-2
=-2 (15)

x=1の時、
y=-2・1^3-2・1^2+2・1
=-2-2+2
=-2 (16)

というわけで、どちらの場合もyは同じ値になりました。
これがyの最小値(クケ)です。

yが最大になる時、
x=1/3 (17)

でした。(7)より、
sinθ=1/3 (18)

ってことになります。
0≦θ<2π (19)

の範囲で(18)を満たすθは2つあるわけですよね？
これは、(18)を(5)に代入すればOK♪
(cosθ)^2=1-(1/3)^2
=1-1/9
=8/9 (20)

というわけで、
cosθ=±2√(2)/3 (21)

つまり、
α=2√(2)/3 (22)
β=-2√(2)/3 (23)

になります。
(23)がコサですね。
んで、(18)、(22)、(23)より、
cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα
=-2√(2)/3・2√(2)/3+1/3・1/3
=-8/9+1/9
=-7/9 (24)

これでシもわかると♪

回答No.1

178-tall

sin2θ = 2sinθcosθ だから、
　sin2θcosθ = 2sinθ(cosθ)^2 = 2sinθ{1-(sinθ)^2} = 2sinθ - 2(sinθ)^3
また、
　cos2θ - 1 = -2(sinθ)^2

f(θ) はそれらの和だから、
　y = - 2(sinθ)^3 - 2(sinθ)^2 + 2sinθ

これがわかると、あとは楽勝なのでは？