高校数学

質問

問題が分かりにくかったので改めまして質問させていただきます。

一辺の長さLの正三角形ABC上またはその内部を動く動点Pがある。　
PA・PB・PCの最大値を求め、そのときのPの位置を説明しなさい。

考え方と計算方法と答えをお願いします。

回答No.8

momordica

エレガントさのかけらもありませんが、素直に座標平面上で微分して解いてみました。
なお、一辺Lのままだと係数が煩雑になりすぎたので、辺の長さを固定してます。

正三角形の頂点を　A(1, √3), (1, -√3), C(-2, 0)　とし、動点を　P(x, y)　とする。
なお、正三角形の対称性を考慮して、Pの動く範囲を　(0≦x≦1, 0≦y≦(√3)x)　とする。
　(AP*BP*CP)^2
　　　= { (x-1)^2+(y-√3)^2 }*{ (x-1)^2+(y+1)^2 }*{ (x-2)^2+y^2 }
　　　= y^6 +(3x^2)y^4 +(3x^2-48x)y^2 +(x^6+16x^3+64)
ここで、y^2=Y　(0≦Y≦3x^2)　とおいて、
　(AP*BP*CP)^2
　　　= Y^3 +(3x^2)Y^2 +(3x^2-48x)Y +(x^3+8)^2
xを固定し、Yだけの関数と見て微分すると、
　(d/dY){(AP*BP*CP)^2}
　　　= 3Y^2 +(6x^2)Y +(3x^2-48x)
　　　= 3(Y+x^2)^2-48x
よって、　(0≦Y≦3x^2)　より、Y=3x^2 のとき　(d/dY){(AP*BP*CP)^2}　は最大となり、このとき、
　(d/dY){(AP*BP*CP)^2}
　　　=48x^2-48x
　　　=48x(x-1)
　　　≧0　　　　　　(∵0≦x≦1)
したがって、この範囲では常に　(d/dY)(AP*BP*CP)^2≦0　り、(AP*BP*CP)^2は単調減少する。
よって、任意のxについて、Y=0 すなわち y=0 のときが最小となり、このとき
　(AP*BP*CP)^2=(x^3+8)^2
　　∴　AP*BP*CP=x^3+8
である。　また、さらにこれをxの関数と見れば、単調増加関数であるので、
　x=1　で最大値　AP*BP*CP=9　をとる。　
このとき動点PはABの中点であるが、対称性より、BC, CAの中点もそれぞれ条件を満たす。

なお、上の場合、三角形の１辺は　2√3なので、一辺がLの場合の最大値は
　AP*BP*CP=9*((L/2√3)^3
　　　=((√3)/8)L^3
となります。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。
やはり計算が大変多くなってしまいますね。

回答No.7

hrsmmhr

お恥ずかしい限りです

OA↑=a,OB↑=b,OC↑=c,|a|=|b|=|c|=y,OP↑=p,|p|=x,∠POA=z,AB=1として,
重心OからABに垂線を下ろしたところをHとして⊿OAHを探索範囲とする
f(x)=x^6=(AP*BP*CP)^2とすると
|p-a|^2|p-b|^2|p-c|^2={x^2+y^2-2(a,p)}{x^2+y^2-2(b,p)}{x^2+y^2-2(c,p)}
=(x^2+y^2)^3-2(a+b+c,p)(x^2+y^2)+4{(a,p)(b,p)+(b,p)(c,p)+(c,p)(a,p)}(x^2+y^2)-8(a,p)(b,p)(c,p)
=(x^2+y^2)^3+4{(a,p)(b,p)+(b,p)(-a-b,p)+(-a-b,p)(a,p)}(x^2+y^2)-8(a,p)(b,p)(c,p)
=(x^2+y^2)^3-4{(a,p)^2+(a,p)(b,p)+(b,p)^2}(x^2+y^2)-8(a,p)(b,p)(c,p)
=(x^2+y^2)^3-4{cos^2z+csozcos(z+2/3π)+cos^2(z+2/3π)}x^2y^2(x^2+y^2)-8x^3y^3coszcos(z+2/3π)cos(z-2/3π)
=(x^2+y^2)^3-4{cos^2z+cosz(-1/2cosz-√3/2sinz)+(-1/2cosz-√3/2sinz)^2}x^2y^2(x^2+y^2)-2x^3y^3cosz(cos^2x-3sin^2z)
=(x^2+y^2)^3-(4cos^2z-2cos^2z-2√3sinzcosz+cos^2z+2√3sinzcosz+3sin^2z)x^2y^2(x^2+y^2)-2x^3y^3cos3z
=(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)-2x^3y^3cos3z
x>=0,y>0よりz=π/3でいつも最大
=(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)+2x^3y^3
=(z^3+y^3)^2
で最大はz=π/3だから、三角形の範囲となるx=√3/6のとき
最大値はx=√3/6のときのf(√3/6)=√3/72+√3/9=√3/8
位置は辺の中央

補足

理解できました。
ありがとうございます。

回答No.6

hrsmmhr

OA↑=a,OB↑=b,OC↑=c,|a|=|b|=|c|=y,OP↑=p,|p|=x,∠POA=z,AB=1として,
重心OからABに垂線を下ろしたところをHとして⊿OAHを探索範囲とする
f(x)=x^6=(AP*BP*CP)^2とすると
|p-a|^2|p-b|^2|p-c|^2={x^2+y^2-2(a,p)}{x^2+y^2-2(b,p)}{x^2+y^2-2(c,p)}
=(x^2+y^2)^3-2(a+b+c,p)(x^2+y^2)+4{(a,p)(b,p)+(b,p)(c,p)+(c,p)(a,p)}(x^2+y^2)-8(a,p)(b,p)(c,p)
=(x^2+y^2)^3+4{(a,p)(b,p)+(b,p)(-a-b,p)+(-a-b,p)(a,p)}(x^2+y^2)-8(a,p)(b,p)(c,p)
=(x^2+y^2)^3-4{(a,p)^2+(a,p)(b,p)+(b,p)^2}(x^2+y^2)-8(a,p)(b,p)(c,p)
=(x^2+y^2)^3-4{sin^2z+sinzsin(z+2/3π)+sin^2(z+2/3π)}x^2y^2(x^2+y^2)-8x^3y^3sinzsin(z+2/3π)sin(z-2/3π)
=(x^2+y^2)^3-4{sin^2z+sinz(-1/2sinz+√3/2cosz)+(-1/2sinz+√3/2cosz)^2}x^2y^2(x^2+y^2)-2x^3y^3sinz(sin^2x-3cos^2z)
=(x^2+y^2)^3-(4sin^2z-2sin^2z+2√3sinzcosz+sin^2z-2√3sinzcosz+3cos^2z)x^2y^2(x^2+y^2)+2x^3y^3sin3z
=(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)+2x^3y^3sin3z
x>0,y>0よりz=π/6でいつも最大
=(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)+2x^3y^3
=x^6+2x^3y^3+y^6=(x^3+y^3)^2
最大値はx=1/3のときの√f(1/3)=(1/3)^3+(√3/3)^3=(1+3√3)/27
位置は辺を三等分する点

でもそれだと2/3*1/3*√7/3=2√7/27のような

回答No.5

mister_moonlight

＞無意識に、中点を取ってましたね。その通りです。したがって、解答-1　は誤りですね

よって、同じ理由で回答-2　も誤りですね。

回答No.4

mister_moonlight

ミスの指摘に感謝です。

＞x＾2＝1＋α＾2、y＾2＝1＋β＾2、z＾2＝1＋γ＾2というところが、どうしてそうなるとしたのかよく分かりません

無意識に、中点を取ってましたね。その通りです。したがって、解答-1　は誤りですね。

回答No.3

momordica

ちゃんと解けてないんですけど、とりあえず。

この手の問題では大抵その図形の中心に当たる点が答なので、今回も正三角形の
重心（＝内心、外心）が答だろうと言いたいところですけど、残念ながら違いますねぇ。

例えば、半径2の円に内接する正三角形ABCを考えると、
　Pがこの円の中心なら、PA=PB=PC=2　から　PA*PB*PC=8
　Pが辺ABの中点なら、PA=PB=√3、PC=3 から　PA*PB*PC=9
となりますから、正三角形の中心が答でないのは明らかです。

多分この「各辺の中点」というのが積を最大にするPの位置のようには思うのですが、
まだちゃんと確かめられてません。
式立てたら、何かぐちゃぐちゃになってしまって…

＃１さんの回答は、
　x＾2＝1＋α＾2、y＾2＝1＋β＾2、z＾2＝1＋γ＾2
というところが、どうしてそうなるとしたのかよく分かりません。

補足

ありがとうございます。
私も重心が答だと思っていました。
分かる方、ヒントだけでもお願いします。

回答No.2

mister_moonlight

三角も使えるようだ。

簡単のために、L＝2として話を進める。ＰＡ＝x、ＰＢ＝y、ＰＣ＝zとする。
ＰからＡＢ、ＢＣ、ＣＡに垂線を下し、その足を各々Ｄ、Ｅ、Ｆ　とし、∠ＰＡＤ＝α、∠ＰＢＣ＝β、∠ＰＣＡ＝γとする。
xyz＝1/(cosα*cosβ*cosγ)だから、0＜α＜π/3、0＜β＜π/3、0＜γ＜π/3　‥‥(1)
分母を和の形にして、(1)の範囲で最大値を求める。2変数問題の応用になる。

以下の計算は自分でやって。
断っておくが、今度は相加平均・相乗平均は使えないよ。何故か？

回答No.1

mister_moonlight

余り自信はないので、galleryからのミスの指摘を期待する。。。。。ｗ

簡単のために、L＝2として話を進める。Ａ＝x、ＰＢ＝y、ＰＣ＝zとする。
ＰからＡＢ、ＢＣ、ＣＡに垂線を下し、その足を各々Ｄ、Ｅ、Ｆ　とし、ＰＤ＝α、ＰＥ＝β、ＰＦ＝γとする。
面積を考えると、△ＡＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡだから、α＋β＋γ＝√3‥‥(1)
x＾2＝1＋α＾2、y＾2＝1＋β＾2、z＾2＝1＋γ＾2　だから、(xyz)＾2＝(1＋α＾2)*(1＋β＾2)*(1＋γ＾2)‥‥(2)　だから、(1＋α＾2)*(1＋β＾2)*(1＋γ＾2)の最大値を求めると良い。
相加平均・相乗平均から　α＾2＋β＾2＋γ＾2＋3≧3(3)√(1＋α＾2)*(1＋β＾2)*(1＋γ＾2)‥‥(3)
(1)を使って　シュワルツの不等式から　α＾2＋β＾2＋γ＾2≧1　‥‥(4).
(3)と(4)から、α＾2＋β＾2＋γ＾2＋3≧4≧3(3)√(1＋α＾2)*(1＋β＾2)*(1＋γ＾2)＝(xyz)＾2
以上から、xyz≦8/(3√3)　この時　α＝β＝γ　だから　x＝y＝z つまり　Ｐは正三角形の　重心、内心　‥‥‥w。結果は予想通りなんだが。。。。。？