数学 幾何の問題です。

質問

この問題の解き方、もしくは考え方を教えていただけないでしょうか。お願いします。

問題1.

1辺の長さがaの正方形の内部にあって、正方形の中心までの距離と、正方形の辺までの最短距離が等しいような点Pを考える。
このような点P全体の作る図形によって囲まれる部分の面積を求めよ。

問題2.

ABを弦とする弓形がある。Pを弓形の弧上の点とするとき、
PA+PBを最大にするためには、Pをどこにとればよいか。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1，ANo.2です．最後まで回答しましょう．

問題1.

求める面積をSとする．

正方形の中心を原点にとり，辺を直線x=±a/2,直線y=±a/2上にとる．対称性からP(x,y)の軌跡(y=f(x))の第1象限の部分と軸とで囲まれる部分の面積はS/4である．

0≦x≦a/2,0≦y≦a/2で考える．P(x,y)から2直線x=a/2,y=a/2に下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとすると，H(a/2,y),K(x,a/2)で

PH=a/2-x,PK=a/2-y

(1)y>xのときPK<PHより

OP=PK：√(x^2+y^2)=a/2-y

x^2+y^2=a^2/4-ay+y^2

y=a/4-x^2/a

y>xより

a/4-x^2/a>x⇔x^2+ax-a^2/4<0,(x+a/2)^2<a^2/2,x+a/2<a/√2

x<a(√2-1)/2

つまり，

y=a/4-x^2/a(0≦x<a(2-√2)/2)

(2)y=xのときPK=PH

OP=PH：√2x=a/2-x,x(√2+1)=a/2

x=a(√2-1)/2

(3)y<xのときPH<PKより

OP=PH：√(x^2+y^2)=a/2-x

x^2+y^2=a^2/4-ax+x^2

y=√(a^2/4-ax)

y<xよりy^2<x^2

a^2/4-ax<x^2⇔x^2+ax-a^2/4>0,(x+a/2)^2>a^2/2,x+a/2>a/√2

x>a(√2-1)/2

つまり，

y=√(a^2/4-ax)(a(√2-1)/2<x≦a/4)

(1)～(3)より

S/4=∫_0^{a/4}f(x)dx

=∫_0^{a(√2-1)/2}(a/4-x^2/a)dx+∫_{a(√2-1)/2}^{a/4}√(a^2/4-ax)dx

=a^2∫_0^{(√2-1)/2}(1/4-(x/a)^2)d(x/a)+a^2∫_{(√2-1)/2}^{1/4}√(1/4-x/a)d(x/a)

=a^2[∫_0^{(√2-1)/2}(1/4-u^2)du+∫_{(√2-1)/2}^{1/4}√(1/4-u)du]

=a^2{[(u/4-u^3/3)]_0^{(√2-1)/2}+[-(2/3)(1/4-u)^{3/2}]_{(√2-1)/2}^{1/4}}

={(4√2-5)/12}a^2

S={(4√2-5)/3}a^2（答）

問題2.

孤は劣孤と解釈します．

弓は半径1，中心角α（０<α≦π）以下の扇形の孤として一般性を失いません．

O(0,0),A(1,0),B(cosα,sinα)とします．P(cosθ,sinθ)(０≦θ≦α)とするとき

PA=√{(1-cosθ)^2+(-sinθ)^2}

=√(2-2cosθ)=√(4sin^2(θ/2))=2sin(θ/2)

PB=√{(cosα-cosθ)^2+(sinα-sinθ)^2}

=√(2-2(cosαcosθ+sinαsinθ)=√(2-2cos(α-θ))

=√(4sin^2{(α-θ)/2})=2sin{(α-θ)/2}

これらは図を書けば計算するまでもありません．

PA+PB=2(sin(θ/2)+sin{(α-θ)/2})=4sin(α/4)cos{(θ-α/2)/2}

|θ-α/2|≦α/2≦π/2よりこれはθ=α/2のとき最大になります．つまり

孤ABの中点（答）

どうでしたか？

お礼

回答ありがとうございます。
バッチリ理解出来ました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

取り敢えず問題１
＞原点O(0,0)、点A(a/2,a/2)、点B(0,a/2)とし、△OAB内の
点P(x,y)が題意を満たすとすると、√(x^2+y^2)=(a/2-y)だから
x^2+y^2=(1/4)a^2-ay+y^2からy=(1/4)a-(1/a)x^2
この曲線と直線y=xとの交点のx座標はx=(1/4)a-(1/a)x^2を
解いてx=(-a±a√2)/2、このうち第一象限内はx=(-a+a√2)/2
よって、この曲線と直線y=xとy軸が囲む面積Sは
S=∫[x=0→(-a+a√2)/2]{(1/4)a-(1/a)x^2-x}dx
={(a/4)x-(1/3a)x^3-(1/2)x^2}[x=0→(-a+a√2)/2]
=(4√2-5)a^2/24
求める面積は8Sになるので{(4√2)-5}a^2/3・・・答え

お礼

回答ありがとうございます。

yyssaaさんは問題の着想はどんなふうにして考えられたのですか？

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．回答では問題1のaが2aになっていました．

問題1.

求める面積をSとする．

正方形の中心を原点にとり，辺を直線x=±a/2,直線y=±a/2上にとる．対称性からP(x,y)の軌跡(y=f(x))の第1象限の部分と軸とで囲まれる部分の面積はS/4である．

0≦x≦a/2,0≦y≦a/2で考える．P(x,y)から2直線x=a/2,y=a/2に下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとすると，H(a/2,y),K(x,a/2)で

PH=a/2-x,PK=a/2-y

(1)y>xのときPK<PHより

OP=PK：これをy=f(x)(0≦x≦[(2)の？])で表します．

(2)y=xのときPK=PH

OP=PK=PH⇔x=？

(3)y<xのときPH<PKより

OP=PH：これをy=f(x)([(2)の？]≦x≦a/4)で表します．

S/4=∫_0^{a/4}f(x)dx

問題2.

孤は劣孤と解釈します．

弓は半径1，中心角α（０<α≦π）以下の扇形の孤として一般性を失いません．

O(0,0),A(1,0),B(cosα,sinα)とします．P(cosθ,sinθ)(０≦θ≦α)とするとき

PA=√{(1-cosθ)^2+(-sinθ)^2}

PB=√{(cosα-cosθ)^2+(sinα-sinθ)^2}

これを計算してPA+PBをθの関数で表し最大値を与えるθを求めれば直感通りの答θ=α/2がでるはずです．

お礼

ふむふむ。なるほど。

問題2.では
PA=(√2-2cosθ)、PB=｛√2-2cos(α-θ)｝
となりましたが、あってますか？

補足

ごめんなさい。
お礼の部分が一部消えていました。

長文での回答ありがとうございます。
しかも、わざわざ訂正までしていただきまして。

回答No.1

ereserve67

問題1.

求める面積をSとする．

正方形の中心を原点にとり，辺を直線x=±a,直線y=±a上にとる．対称性からP(x,y)の軌跡(y=f(x))の第1象限の部分と軸とで囲まれる部分の面積はS/4である．

0≦x≦a,0≦y≦aで考える．P(x,y)から2直線x=a,y=aに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとすると，H(a,y),K(x,a)で

PH=a-x,PK=a-y

(1)y>xのときPK<PHより

OP=PK：これをy=f(x)(0≦x≦[(2)の？])で表します．

(2)y=xのときPK=PH

OP=PK=PH⇔x=？

(3)y<xのときPH<PKより

OP=PH：これをy=f(x)([(2)の？]≦x≦a/2)で表します．

S/4=∫_0^{a/2}f(x)dx

からSは求まります．

問題2.

孤は劣孤と解釈します．

弓は半径1，中心角α（０<α≦π）以下の扇形の孤として一般性を失いません．

O(0,0),A(1,0),B(cosα,sinα)とします．P(cosθ,sinθ)(０≦θ≦α)とするとき

PA=√{(1-cosθ)^2+(-sinθ)^2}

PB=√{(cosα-cosθ)^2+(sinα-sinθ)^2}

これを計算してPA+PBをθの関数で表し最大値を与えるθを求めれば直感通りの答がでるはずです．