数学の質問です。

質問

1辺の長さがaの正三角形ABCの重心をGとする。△ABCの内部の点Pで、Pから△ABCの各辺におろした垂線の長さが、PとGの距離PGよりも短くないような点Pの存在範囲の面積Sを求めよ。

という問題で、一体何をヒントにどこからはじめればいいのか分かりません！
とても身勝手な質問であることは重々承知の上です。
どなたかご教授いただけないでしょうか。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｘｙ平面においてＡを原点、Ｂをｘ軸上に取ります。するとＢの座標は（ａ，０）、Ｇの座標は（ａ／２、ａ√３／６）になります。
　例えば点Ｐが△ＧＡＢの内部にあるとき、Ｐから各辺に下ろした垂線のうち最も短いのはＡＢに下ろした垂線です。正三角形の対称性から、点Ｐが△ＧＡＢの内部にあるときを考えてその領域の面積を３倍すれば目的の面積が求められます。
　点Ｐの座標を（ｘ、ｙ）と置くと、ＡＢに下ろした垂線の長さはｙであり、ＰＧの長さは√（（ｘ－ａ／２）＾２＋（ｙ－ａ√３／６）＾２）なので、
　ｙ＞＝√（（ｘ－ａ／２）＾２＋（ｙ－ａ√３／６）＾２）
とおき、整理するとｘの二次不等式（境界は放物線）になります。この放物線とＡＧ、ＧＢで囲まれた領域の面積を求めます。△ＧＡＢは左右対称なので、左半分だけの面積を求めて２倍した方が計算が単純になります。こうして求めた面積を３倍したものが最終的に求める面積です。

お礼

分かりやすく解説していただいて助かりました！ありがとうございました！

回答No.2

mister_moonlight

＃1の回答で、どうせ正三角形の対称性を使うなら、3点をＡ(0、√3*a)、Ｂ(-a、0)、Ｃ(a、0)にとってやると話は極めて簡単になる。
Ｐ(α、β)　β＞0　とすると、重心Ｇ(0、√3*a/3)となる。

座標を使う時は、一般性を失わない限りにおいて、都合良くとってやると良い。

お礼

ありがとうございました！