数学の質問です。解いてください。

質問

1辺の長さaの正三角形の重心をGとする。
三角形ABCの内部の点Pで、Pから三角形ABCの各辺に下ろした垂線の長さ
がPGよりも短くないような点Pの存在範囲の面積Sを求めよ。

回答No.2

jcpmutura

#1の方の
正3角形の1辺の長さは
2√3
としているので
正3角形の1辺の長さを
a
とします

対称性から三角形GBCの内部の点Pの存在範囲の面積Soを求め
て3倍すればよいでしょう。
S=3So ... (a)
b=a√3/6
とする
Gを原点にとれば, B(-a/2,-b), C(a/2,-b),
Q(x,y), H(x,-b) (HはQからBCに下ろした垂線の足)とし
GQ=QHとすれば Q(x,y)の軌跡は
x^2+y^2=(y+b)^2
x^2=2by+b^2
x^2-b^2=2by
y=(x^2-b^2)/(2b) ... (b)
P(x,y)の存在範囲は
y>=(x^2-b^2)/(2b)
かつ
直線GB: y=x/√3 より下(y<=x/√3)
かつ
直線GC: y=-x/√3 より下(y<=-x/√3)
を満たす領域(y軸対称)であるから
So
=2∫[0,a/6]{-x/√3-(x^2-b^2)/(2b)} dx
=[-x^2/(√3)-x^3/(3b)+bx]_[0,a/6]
=[{-a^2(√3)/108}-{a^2(√3)/324}+{a^2(√3)/36}]
=5a^2(√3)/324

S=3So=5a^2(√3)/108 ... (Ans.)

補足

Ansが間違っているようです・・・

回答No.1

info222_

対称性から三角形GBCの内部の点Pの存在範囲の面積Soを求め
て3倍すればよいでしょう。
S=3So ... (a)
Gを原点にとれば, B(-√3, -1), C(√3, -1),
Q(x,y), H(x,-1) (HはQからBCに下ろした垂線の足)とし
GQ=QHとすれば Q(x,y)の軌跡は
x^2+y^2=(y+1)^2
x^2=2y+1
y=(x^2-1)/2 ... (b)
P(x,y)の存在範囲は
y>=(x^2-1)/2
かつ
直線GB: y=x/√3 より下(y<=x/√3)
かつ
直線GC: y=-x/√3 より下(y<=-x/√3)
を満たす領域(y軸対称)であるから
So=2∫[0, 1/√3] {-x/√3 -(x^2-1)/2} dx=(5/27) √3

S=3So=(5/9) √3 ... (Ans.)

補足

Ans・・・・が間違っているようです。