数学、ベクトルの質問です。

質問

数学、ベクトルの質問です。

平面上に点Pと、△ABCがある。
→ → → →
2PA ・ PB = 3PB ・ PC
を満たす点Pの軌跡を求めよ。

ヒントによると、この条件を
→ → →
PA ・ ( □PA+○PC ) = 0
に変形すると、解けるようになるらしいのですが…（□、○には、それぞれ係数が入ります）。

どなたかご教授のほど、よろしくお願いします！

回答No.2

noname#108210 · ベストアンサー

位置ベクトルにすべて書き直して考えるとわかりやすくなります。

位置ベクトルで表すと，（矢印は省略します）
2(a-p)・(b-p)=3(b-p)・(c-p)
(b-p)・{2(a-p)-3(c-p)}=0
(b-p)・(2a-3c+p)=0
(p-b)・{p-(3c-2a)}=0

ここで，q=3c-2a とおくと
q=(3c-2a)/(3-2)　だから，点QはACを3:2に外分する点の位置ベクトルです。

そして，内積が0だから，(p-b)⊥(p-q)　で，点PはBQを直径とする円周上の点となる。
逆も成立するので，求める点Ｐの軌跡は，BQを直径とする円。

お礼

ありがとうございます！
とても分かりやすかったです！
しかし、どうしたらこうした解答が自然に思いつくものなのか…。

回答No.1

noname#137826

条件式を変形すると

PB・(2PA-3PC) = 0

になりますね。ヒントは書き写し間違いではありませんか？

この先は以下のようにすると解けます。
(計算過程は自分で追ってみてください。)

原点をOとして、

OD = 3OC - 2OA

を満たすような点Dを考えると、条件式は

PB・PD = 0

となります。
したがって、点Pの軌跡はBDを直径とする円になります。