高校の入試問題の答え（円と3角形）

質問

中学生のおいに聞かれましたが
できませんでした。
教えてください。
一応答えは考えてみましたが
とき方なんか説明していただけると大変助かります.

半径ｒの円Ｏの円周上に2点Ａ，Ｂをとる。
さらに円周上に点Ｃを取り、△ＡＢＣを作るとき次の問いに答えなさい。

問１
△ＡＢＣが最大となるのは△ＡＢＣがどんな３角形のときか
答１
２等辺三角形？

面積が最大という事は、高さが最大になるときだから、
ＡからもＢからも遠いときなので２とうへん三角形かなと思ったんです。　　

問２
辺ＡＢの長さが２のとき△ＡＢＣの面積の最大値をｒを使ってあらわしなさい。
答２
２等辺三角形ってことと１：１：ルート２を使うんだろうなとはおもうんでが・・・

問３
△ＡＢＣが正３角形となるとき一辺の長さを使ってあらわしなさい。
答３
√２ｒ
３平方の定理による。

回答No.9

mirage70

(1)直線ABに平行線Lを引き、直線ABの中点をMとします。
直線ABと直線Lの距離が三角形ABCの高さとなります。
この直線Lを平行移動したときに、一番距離の大きいときが、面積が最大となります。すなわち、円Oとの接線となったときが最大であるが、接線は２本引けるが、
中心を通った反対側となる。この点がCとなる。して、AB平行Lより、円の中心をOとすると、OC⊥L、MOCは一直線となることからAC=BC
即ち、二等辺三角形
(2)、(1)を利用して、MO=hと置くと、AM=AB・1/2=1、AO=r、∠AMO=∠R
よって、h"2=r"2-1 ∴h=√(r"2-1)
面積は、底辺=AB=2,高さ=h+r
よって、S=r+√(r"2-1)
確かめるには、特殊形として、r=1のとき、即ちABが直径となるときと、
r=2のときは、３０°、６０°、９０°が使えます。
(3)、(2)を利用する。
正三角形より∠BAC=60°、∠MAO=30°∠AMO=∠R, AO=r此より、
OM=r/2,AM=r・√(3)/2
AB=2・AM=r・√(3)
此でよいと思います。

回答No.8

kony0

問１の証明をもう少しビジュアル的に。

適当なCを通り、ABに平行な線を引く。
そうすると、その平行線の向こう側にある（線分ABから見て）円弧上に点Cをとったら、もっと面積大きくできるはず！
ということで、この平行線をぎりぎりまで遠くに離してやると・・・接点を考えればよいよね？この接点が求めるC。
このとき２等辺三角形になる証明は・・・接弦定理（この名前って一般的ですかね？）と平行線の錯角を用いればOK。

はじめにおもむろに平行線を引く理由は。。。
２点A,Bが決まっている三角形の第３の頂点Cを動かすとき、CをABに平行に動かせば面積変わらない。（平行線と等積変形）
ということを考えています。

回答No.7

Largo_sp

springsideさんの解答が正解のようですが...

問２は　ｒ＞＝１ですね…ｒ＝１のときも、面積が１の三角形ができますよね…

回答No.6

springside

問１
答えは正三角形ではないです。これは、例えばＡＢの長さがすごく短くて、△ＡＢＣが正三角形になるようなＣが円周上にとれない場合を考えればわかります。つまり、答えは「ＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形」です。証明は、ＡＢを底辺と見てＣからＡＢに下ろした垂線（△ＡＢＣの高さ）が最大になる場合を図形的に考えれば明らかでしょう。

問２
面積が最大になるのは、上記問１のように、「ＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形」のときである。円の中心をＯ、辺ＡＢの中点をＭとする。△ＯＡＭを考えると、ＯＡ＝ｒ、ＡＭ＝１なので、三平方の定理より、ＯＭ＝√（ｒ^２－１）となる。△ＡＢＣの底辺＝ＡＢ＝２、高さ＝ＭＯ＋ＯＣ＝√（ｒ^２－１）＋ｒなので、面積は、２×｛√（ｒ^２－１）＋ｒ｝÷２＝√（ｒ^２－１）＋ｒ
（注：題意より、ｒ＞１は明らか）

問３
辺ＡＢの中点をＭとする。△ＯＡＭを考えると、ＯＡ＝ｒであり、∠ＯＡＭ＝３０°なので、ＡＭ＝（√３）／２×ｒとなる。よって、１辺の長さは、２ＡＭだから、（√３）ｒ

回答No.5

kissmyknife

問１は正三角形でＯＫ！（二等辺三角形も正三角形に含んで考える）
問２は正三角形の１辺が２なのでＢＣの中点Ｍをとると△ＡＢＭは１：２：√３の比よりＡＭ＝√３。△ＡＢＭの面積は２×√３÷２＝√３
問３は√３／４　×ｒ＾２　ｒは正三角形の１辺とする

こんな感じです。

回答No.4

may-may-jp

2）三角形を、円の半径を使って3つに分け、それぞれ面積を求めて最後に足すのが正解かと思われます。

3）（2）と同様にして求められます。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm

回答No.3

smurata

＃１です。
問題を読むと、二点Ａ，Ｂはどこにあるか任意なのですね。すると以下の解は間違えました。すいません。

回答No.2

ONEONE

問１は正三角形だと思うのですが・・・証明は微積を使ってやると思います。

問３は内接正三角形を描いて中心から三頂点へ線を引きます。そして中心からひとつの辺へ垂線を下ろします。
そうすると、90度60度30度の直角三角形ができますから、１：２：√３で一辺＝√３ｒではないですか？

あいまいな答え方ですいません。

回答No.1

smurata

こんにちは

問１
円周上の３点ですよね？
正三角形では？

Ａ，Ｂの点を、直径の中心を通る直線の、円周と交わる点の両端にとるのであれば２等辺三角形となると思いますが。

問２、問３
私の答え（正三角形）では両方同じ解になります。
ｒ×√３÷２