証明：疎な集合の結合が疎

質問

位相空間において、Ｅ，Ｆが疎な集合とする。
Ｅ∪Ｆも疎なことの証明。
定義：Ｅが疎な集合とは、Ｅの閉包の内点がφ

回答No.8

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

空間Xの部分集合Eに対し、
Eは疎である. ⇔ Int(ClE)=φ. （Eの閉包は内点をもたない。）
は定義なのですが次の言い換えを利用する方がよいでしょう。
Eは疎である. ⇔ Cl(X-ClE)=X. （Eの閉包の補集合はXで稠密である。）

問題の証明ですが、E, Fは疎とします。
任意の空でない開集合Uに対して、
U∩(X－Cl(E∪F))＝U∩(X－(ClE∪ClF))
＝U∩(X－ClE)∩(X－ClF)
という等式が一般的に成立していますが、終結式において、
Eが疎である（X-ClEは稠密である）ことから
U∩(X－ClE)は空でないことがわかり、さらにこれは開ですから
Fが疎である（X-ClFは稠密である）ことによって
U∩(X－ClE)∩(X－ClF)は空でないことがわかります。
従がって、等式から
U∩(X－Cl(E∪F))は空でないこと、即ち、X－Cl(E∪F)はXで稠密であること、即ち、E∪Fは疎であることが示されます。

回答No.9

鳴瀬 美幸（@naruse）

老婆心ながら、
> 次の言い換えを利用する方がよいでしょう。
> Eは疎である. ⇔ Cl(X-ClE)=X.
は次の基本的なことがら
X-IntA＝Cl(X－A)
から示されます。実際、
Eは疎
⇔Int(ClE)=φ
⇔X－Int(ClE)=X
⇔Cl(X－ClE)=X
⇔X－ClEはXで稠密.

お礼

ていねいな証明ありがとうございました。おかげでよく理解できました。疎を稠密に言い換える所と基本的公式にあてはめるところなど参考になりました。

回答No.7

t-aoba

♯５の訂正です。度々すいません。

「♯３のdaimaohさんの６行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V　or　V：有限集合　or　V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V^c:無限集合　and V≠φ
の誤りです。
このとき，E,Fは閉集合だから閉包は変わらないがE,F≠φです。
よってE,Fは疎な集合ではないので反例は誤りです。」
反例の反例については問題ないかと。

それから
「U⊂Xが開集合⇔p∈U　or　U＾c（=Uの補集合）：有限集合　or　U=φ と定義するとXに位相が入る」のは正しいと思います。
p∈X-U としてしまったら、位相にならないのでは？

お礼

ご回答どうもありがとうございました。

回答No.6

daimaoh

＃３です。
間違えました。

開集合の定義を，

... or p∈X-U

としないと位相にならないですね。
失礼しました。

お礼

理解されてよかったですね。
これは大学のとき一度正しいことは,理解したことあり反例はないはずです。
どうもありがとうございました

回答No.5

t-aoba

♯４の訂正です。
正しくは

「♯３のdaimaohさんの６行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V　or　V：有限集合　or　V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V　and　V：有限集合　and　V≠φ
の誤りです。
したがって、E,Fは閉集合ではないのでこの反例は誤りです。
反例の反例（？）として
X=Z(整数),E={x∈Z|x<p},F={x∈Z|p<x}
を考えるとよいと思います。」

訂正した部分は「V≠φ」のところと、「E,Fは閉集合ではないので」のところです。

回答No.4

t-aoba

♯３のdaimaohさんの６行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V　or　V：有限集合　or　V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V　and　V：有限集合　and　V=X
の誤りです。
したがって、E,Fは無限集合なので開集合で、この反例は誤りです。
反例の反例（？）として
X=Z(整数),E={x∈Z|x<p},F={x∈Z|p<x}
を考えるとよいと思います。

回答No.3

daimaoh

あれれ？この命題は成立しませんね。

反例：
X：無限集合，p∈Xをfix（固定）します。
U⊂Xが開集合⇔p∈U　or　U＾c（=Uの補集合）：有限集合　or　U=φ
と定義するとXに位相が入ります。このとき，
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V　or　V：有限集合　or　V=X
となります。
さて，X-{p}は無限集合ですから，それを二つの無限集合，E,Fに分けます。
このとき，E,Fは閉集合ですから閉包は変わらず，しかもφ以外の開集合を含みませんから内点はありません。
しかし，E∪Fは補集合が有限なので開集合となり，内点を持ちます（すべて内点です）。

回答No.2

t-aoba

E^aをEの閉包、E^iをEの内部、U_xをxの近傍とする。

Eが疎な集合
⇔
(E^a)^i=φ
⇔
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xが存在しない

(E^a)^i=φかつ(F^a)^i=φであるから
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xと、U'_x⊂F^aとなるU'_xが存在しない
⇒
∀xで、U_x⊂(E^a∪F^a)となるU_xが存在しない
ここでE^a∪F^a=(E∪F)^aであるから、

∀xで、U_x⊂(E∪F)^aとなるU_xが存在しない
⇔
((E∪F)^a)^i=φ
よって
E∪Fは疎な集合である。

「疎な集合」って初めて聞いたんですけど、出題者の造語ですか？

お礼

E^a)^i=φかつ(F^a)^i=φであるから
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xと、U'_x⊂F^aとなるU'_xが存在しない
⇒
∀xで、U_x⊂(E^a∪F^a)となるU_xが存在しない
ここのところが論理的にすっと入ってこないのですが。

どうもありがとう。

補足

「疎な集合」って初めて聞いたんですけど、出題者の造語ですか？について
これは岩波　位相解析の基礎　1960年初版発行に載っていた用語です。
古いけど歯ごたえと味わいがあります。

回答No.1

keyguy

Eの閉方が内点を持たない
Fの閉方が内点を持たない
E∩F（⊂F)の閉方が内点を持たない
E＋F=E＋F+E∩Fの閉方が内点を持たない
自明としか思えない。

お礼

自明なことなら証明は簡単のはづですがーー
。どうも