可測集合の測度について

質問

ユークリッド空間の可測集合Eの測度が>0のとき

Eの内点は存在するでしょうか？

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

実数全体（1次元ユークリッド空間）を全体空間として、0 < x < 1 なる無理数全体を E とすれば、E は、次を満たします。

１　Borel 集合（したがってLebesgue 可測）
２　測度は 1 （したがって > 0 ）
３　内点を持たない

回答No.1

stomachman

「ユークリッド空間の可測集合であって、内点を持たず（すなわち開核が空集合で）、かつ測度が0でないものはあるか」というご質問だとすると、たとえば「2次元ユークリッド空間(x,y)でy=0の部分空間に限定すれば、限定された1次元ユークリッド空間における測度μが定義できる。だから、たとえば{(x,y)| 0<x<1, y=0}という集合は、2次元ユークリッド空間の内点を持たない可測集合であって、しかもμが0じゃなくできる」というような、話のすり替えをすれば？ というわけで、ご質問は正確に書かないとな。

お礼

質問を出したあとで、「ルベーグ」と言う言葉をつけるのを忘れて、しまったと思いました。
後で検索するときにこまった。
しかし、「ご質問は正確に書かないとな。」と書かれるとちょとかちんとくる。
論文等でも、測度はデフォルトで、ルベーグ測度。ジョルダン測度、ボレル測度だとではない。