位相の問題が分かりません。

質問

次の問題をどなたか解いていただけないでしょうか？

特にＲにユークリッド空間として通常の位相を入れた場合に、
①「一般の位相空間における内部の定義」と「ユークリッド空間Ｒ^nにおける内部の定義」が同値であることを示せ。
②「一般の位相空間における閉包の定義」と「ユークリッド空間Ｒ^nにおける閉包の定義」が同値であることを示せ。

回答No.2

Caper

●「 … が同値であることを示せ 」というのがどういう意味なのか、私にはつかめませんでした。

●「 R^n から任意に選んだ 1つ の部分集合 M の内部 」とは「 M の内点全部の集合 」のことであると、私は認識しています。
　 そして、「 M の内点 a 」とは「 適当な正の数 ε を選べば、『 a 自身 』および『 a との距離が ε より小さい点全部 』を M に含めることができるような点 」のことであると、私は認識しています。
　 そして、「 R^n の開集合 M 」とは「 M と『 M の内部 』とが同じとなる集合 」のことであると、私は認識しています。

　 freedomdn さん がお求めになっている回答とは、次のようなことになりますでしょうか。

　 R^n から任意に選んだ 1つ の部分集合を M と表わすとき、「 M の内部 」が M に含まれる最大の開集合になっていることの証明。

● その証明でしたら、次のようになるではないかと、私は思います。ただし、以下の証明は上記の私の認識が土台となっています。

　「 M の内部 」が M に含まれることは、R^n における内部の定義より明らかなので、それを示すことは省きます。

　「 M の内部 」から任意に選んだ 1つ の点を a とします。適当な正の数 ε を選べば、「 a 自身 」と「 a との距離が ε より小さい点全部 」を M に含めることができます。
　 いま、「 a 自身 」と「 a との距離が ε より小さい点全部 」を要素とする集合を B(a;ε) と表わすことにします。

　 B(a;ε) ⊆ M

　 R^n における内部にかかわる定理 (*1) により、「 B(a;ε) の内部 」は「 M の内部 」に含まれます。

　 (B(a;ε) の内部) ⊆ (M の内部)

　 R^n における開集合にかかわる定理 (*2) により、「 B(a;ε) の内部 」は B(a;ε) と同じです。

　 B(a;ε) ⊆ (M の内部)

　 ゆえに、a は「『 M の内部 』の内部 」に含まれます。ゆえに、「 M の内部 」は「『 M の内部 』の内部 」に含まれます。

　 (M の内部) ⊆ ((M の内部) の内部)

　「『 M の内部 』の内部 」が「 M の内部 」に含まれることは、R^n における内部の定義より明らかなので、それを示すことは省きます。
　 以上の結果より、「 M の内部 」と「『 M の内部 』の内部 」は同じになります。

　 (M の内部) ＝ ((M の内部) の内部)

　 ゆえに、R^n における開集合の定義により、「 M の内部 」は開集合になります。
　 次に、M に含まれるすべての開集合から任意に選んだ 1つ の開集合を N と表わすことにします。

　 N ⊆ M

　 R^n における内部にかかわる定理 (*1) により、「 N の内部 」は「 M の内部 」に含まれます。

　 (N の内部) ⊆ (M の内部)

　 N は開集合ですから、R^n における開集合の定義により、「 N の内部 」は N と同じです。ゆえに、N は「 M の内部 」に含まれます。

　 N ⊆ (M の内部)

　 ゆえに、「 M の内部 」は M に含まれる最大の開集合である。

● 上記における (*1) (*2) は証明が必要かもしれません。もし必要ならお知らせください。
　 もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

回答No.1

rinkun

(1)
1. 「一般の位相空間における内部の定義」を記述する
2. 「ユークリッド空間Ｒ^nにおける内部の定義」を記述する
3. 「1の内部の定義」による条件を仮定して「2の内部の定義」の条件を一つ一つ確認する
4. 「2の内部の定義」による条件を仮定して「1の内部の定義」の条件を一つ一つ確認する

(2)
「内部」を「閉包」に置き換えて(1)と同様のことを行う

この手の問題に難しいところはありません。定義の条件を丁寧に確認していくだけです。