”コンパクト”の定義について。集合、位相

質問

集合論における、”コンパクト”の定義について質問です。
言い回しの違いがあるにせよ、以下の2種類があるようですが
どちらが正しいのでしょうか？

（その１）
コンパクトであるとは、位相空間Ｘの任意の開被覆が、必ずＸの有限被覆を部分集合として含むことである。

（その２）
ある集合Ａを、有限個の開集合の和で覆えるときにコンパクトという。

個人的には、（その１）の定義が正しいとおもっています。
”位相空間”であることが、前提条件でないと
話が進まない気がしています。

回答No.3

gef00675 · ベストアンサー

＞　結局のところ、コンパクトとは何なのでしょうか？。

このあたりをご覧になるとよいかと。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa666504.html

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa666504.html

回答No.2

koko_u_

>言い回しの違いがあるにせよ、以下の2種類があるようですが

おそらく何かを大きく間違えているようです。
位相空間Ｘの任意の部分集合Ａは開集合であるＸ自身で被覆されますから。

お礼

回答ありがとうございます。

私自身、まだ何に疑問をもっているかまとまりきれていないところ
があり、説明が不十分だったと思っています。

＞　おそらく何かを大きく間違えているようです。
＞　位相空間Ｘの任意の部分集合Ａは開集合であるＸ自身で被覆されますから。

確かにおっしゃるとおりで、Ｘ自身で被覆されます。なので
位相空間の部分集合ということを前提条件とすると、
位相空間ならばコンパクトということになってしまうので
何か変だなと感じています。
なので、私自身がまだコンパクトの定義を正しく把握していないと
思い質問に至ったわけです。

結局のところ、コンパクトとは何なのでしょうか？。
（どんな集合も適当な被覆を作ってしまえば何でも覆えてしまう
気がします。それでは意味がないので、何らかの被覆に関する
ルールを定義したものであると考えられますか？……）

回答No.1

gef00675

（その１）が正しい。

（その２）の定義は聞いたことがありません。
有限個の開集合の和はまた、開集合になりますから、
その開集合に含まれるというだけでは、
どんな集合も（その２）の条件を満たしてしまうじゃありませんか！
全然意味がないですよ。

お礼

言われてみればそのとおりですね。
気づきませんでした。
どうもありがとうございます