「位相空間 （Ｘ、Ｔ）の二つの部分集合A,Bについて、 Aが開集合のと

質問

「位相空間　（Ｘ、Ｔ）の二つの部分集合A,Bについて、　Aが開集合のとき、 A ∧ （Bの閉包）が （A ∧ B）の閉包　に含まれることを示せ」　という問題がわかりません。　証明の仕方を教えて下さい。

教科書はちゃんと読んだのですが、挫折しました。　よろしくお願いします。

回答No.2

noname#109123 · ベストアンサー

cl(Y)で集合Yの閉包(closure)を表すとします。
A∩cl(B)が空集合のときはOKですね。
A∩cl(B)が非空のとき、x∈A∩cl(B)を任意にとってみましょう。
xの任意の開近傍Vについて、V∩(A∩B)が非空であることを示せば、x∈cl(A∩B)となって、質問の主張が示せることはいいですか？(A∩Bが空集合のときは、A∩cl(B)も空集合)
x∈AでAは開集合なので、x∈U⊆V、U⊆Aとなる開集合Uが存在するのはわかりますか？
x∈cl(B)なので、さっきのUとBは共通部分が非空になるのはいいですか？
すると・・・そのあとはわかりますか？

補足

アタマが　混乱しているのですが、　こんな感じの証明は合っているでしょうか？

Ａかつｃｌ（Ｂ）がｘを含む　⇒　ｘを含む任意の（Ｘ、Ｔ）の開集合　ｔ　に対し、ｔかつＡは非空　かつ　ｔかつ
Ｂは非空　⇒　ｔ　かつ（ＡかつＢ）　は　非空　⇒　ｃｌ（ＡかつＢ）はｘを含む

回答No.6

noname#109123

証明の流れは、No.5の補足欄に書かれた感じでOKだと思います。
位相の概念にまだ慣れていないということですので、実際に解答する際は「論理を展開するときにどういう性質を使っているか」を丁寧に補って証明すれば理解も深まるのではないでしょうか。
Aが開集合でないときの例としては、X=R、Tをユークリッド位相として、A=(-1,0]、B=(0,1)などがあります。
一般的な位相は抽象的すぎてイメージがつかみにくいと思いますので、まずは距離空間、特にRやR^2などのユークリッド空間にしぼって、いろいろな具体例に触れてみたほうがよさそうですね。また、わからないときは、教授に聞いてみるのがベストだと思います。

お礼

最後まで親切に教えていただいて

ありがとうございました！！

回答No.5

noname#109123

No.3さんの回答が、いちばんシンプルで一般性があり、いいのではないでしょうか。

> これだと　二番目の　⇒　が少し違う気もするのですが・・・

ですから、No.2では、Aが開集合であることを利用して、U⊆V、U⊆Aとなる開集合Uを見つけています。UがBと共通部分を持ったとき、その共通部分がA内にある(A∩Bとも共通部分を持つ)ことが保証されます。

Aが開集合でないときに質問文の主張が成り立たない例を考えてみると、理解の手助けになると思います。

補足

こんな感じの証明でしょうか

Ａかつｃｌ（Ｂ）がｘを含む　⇒　ｘを含む任意の（Ｘ、Ｔ）の開集合　V　に対し、Ｖに含まれ、かつＡに含まれるようなｘの近傍Ｕが存在する　⇒　（ＡかつＢ）かつＵは非空　⇒　（ＡかつＢ）かつＶは非空　⇒　ｃｌ（ＡかつＢ）はｘを含む

具体例は　思いつかないのですが・・・未だに　開集合と閉集合の概念が良く理解できません。
数直線の　「開区間」　や　「閉区間」　と何か関係があるのでしょうか？

回答No.4

koko_u_u

>これだと　二番目の　⇒　が少し違う気もするのですが・・・

その通りです。やり直し。

回答No.3

muturajcp

「位相空間(X,T)の二つの部分集合A,Bについて、Aが開集合のとき、
A∩cl(B)⊂cl(A∩B)」の証明

A⊂X　＆　B⊂X　とすると　A∩B⊂cl(A∩B)　だから
→　B=(B-A)∪(A∩B)⊂(X-A)∪(A∩B)⊂(X-A)∪cl(A∩B)

X-A　閉　＆　cl(A∩B)　閉　→　(X-A)∪cl(A∩B)　閉

cl(B)はBを含む最小の閉集合だから
→　cl(B)⊂(X-A)∪cl(A∩B)

→　A∩cl(B)⊂A∩((X-A)∪cl(A∩B))=A∩cl(A∩B)⊂cl(A∩B)

お礼

補足を間違えて付けてしまい、すみませんでした。

回答して下さり、ありがとうございます。

参考にさせて頂きます。

補足

アタマが　混乱しているのですが、　こんな感じの証明は合っているでしょうか？

Ａかつｃｌ（Ｂ）がｘを含む　⇒　ｘを含む任意の（Ｘ、Ｔ）の開集合　ｔ　に対し、ｔかつＡは非空　かつ　ｔかつ
Ｂは非空　⇒　ｔ　かつ（ＡかつＢ）　は　非空　⇒　ｃｌ（ＡかつＢ）はｘを含む

これだと　二番目の　⇒　が少し違う気もするのですが・・・

回答No.1

koko_u_u

閉包の定義を補足に書いて、次にどの辺で挫折しかかも補足して下さい。

お礼

知識を整理することで　見通しが良くなりました。

アドバイス　ありがとうございました。

補足

迅速な回答ありがとうございます。
今　考え中です。また二、三日したら
ご返答したいと思います。（すみません　今　やらなければならないことが多すぎて・・・）