集合と位相

質問

(1)X,Yは位相空間とする。A,BがそれぞれX,Yの開集合であるときA×Bは直積位相X×Yの閉集合であることを示せ。

(2){Xλ}λ∈Λを位相空間の族としてAλ⊂Xλ(λ∈Λ)とする。
この時直積位相空間Πλ∈ΛXλにおいて以下を示せ。
(閉包のバーの書き方がわからないのでclと表記します)
(a)cl(Πλ∈ΛAλ)=Πλ∈ΛclAλを示せ。
(b)Λは無限集合であるとき、Int(Πλ∈ΛAλ)≠φであるための必要十分条件は有限個のIntAλ≠φであり、かつその他のλについてはAλ=Xλであることを示せ。

(1)は以下のように考えたのですがわかりません。
Aの補集合、Bの補集合はそれぞれX,Yの開集合となる。
よってA^c×B^cは直積位相X×Yの開集合となる。
また(A×B)^c＝(A^c×Y)∪(X×B^c)
ここで詰まってしまいました。友人に聞いてみたら、
「生成する」位相という言葉の定義がわかってないと言われました。これはどのような意味なのでしょうか？
例えは直積位相の定義にもありました。
X,Yが位相空間でそれぞれの位相をЦx、Цyとした時に
Цx×Цy={O1×O2|O1∈Цx,O2∈Цy}が生成する位相を直積位相という。
また位相を「入れる」ということはどういう意味なのでしょうか？

(2)(a)は次のように考えてみましたがどうでしょうか？
(⊃)
∀x∈Πλ∈ΛclAλを取る。∃λ∈Λ s.t. x∈clAλであるから
xの任意の近傍はAλと交わる。したがってxの近傍はAλよりも大きい集合Π(λ∈Λ)Aλとも交わるので、
xはcl(Π(λ∈Λ) Aλ)の点になる。
(⊂)
∀x∈cl(Π(λ∈Λ) Aλ)を取る。
xの任意の近傍とΠ(λ∈Λ)Aλは交わるから、
あるAλと任意の近傍は交わる。これよりx∈clAλ
よってx∈Πλ∈ΛclAλ

(b)はわかりませんでした。アドバイスお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

(1)については No.1 さんのおっしゃるとおり．
蛇足をつけるなら

>U×Vが上の定義から (a, b) の近傍であり (U×V)∩(A×B)=φ

よって，
(A×B)^c ⊃ U×V ・・・(*)
(a,b)をA×Bの補集合全体を動かすことで
(A×B)^c ⊃ ∪(U×V)
一方，
(A×B)^c ⊂ ∪(U×V)
は明らかなので
(A×B)^c = ∪(U×V) となり，A×Bは閉集合
＃もっとも，(*)の段階で開近傍がとれてるから開集合ですけど
＃定義にもどして書くならこんな感じ．
＃初学者のようですので，この流れは知っておくほうがよいでしょうね

(2)については
>∀x∈Πλ∈ΛclAλを取る。∃λ∈Λ s.t. x∈clAλであるから

この時点ですでに駄目です．
直積空間と和集合がごっちゃになってます．
一般の直積空間が分かりにくいのであれば
もっと限定したシンプルなもので練習してください．

たとえば，R^2 （実二次元空間）は実数Rをつかって
R^2 = R × R です
これを念頭において，(2)の問題をやさしく書き直すと
Rの部分集合AとBについて
cl(A×B)=cl(A)×cl(B)
を示せとなります．
質問者の論法だと

∀x∈cl(A)×cl(B)を取る。 x∈cl(A)またx∈cl(B)であるから

となりますが，x=(a,b)と書けるので，おかしいですよね．
これは，aの任意の近傍Uとbの任意の近傍Vをとると
U∩A≠φ，V∩B≠φ，
したがって，(U×V)∩(A×B)≠φ
ここで，xの任意の近傍はU×Vの和集合で表せる・・・(**)
ので，xはcl(A×B)の元

なんて流れになります．
(**)が理解できないということが「生成する位相」という定義が
理解できていないということに相当します．

反対側の包含関係についても同様の間違いがあります．

(b)の問題については・・・・
問題そのものが納得できません．
全部のAλに対して，IntAλ≠φでもいいのでは？
どちらにしろ，
もう少し直積空間に慣れてからの問題でしょう
＃というか。。先生なり友達に聞くほうが現実的でしょう．

回答No.3

koko_u

kabaokaba>(b)の問題については・・・・
kabaokaba>問題そのものが納得できません．
無限個の直積空間 P=Π_{λ∈Λ}X_λ には普通すべての射影 p_λ : P -> X_λ が連続となるような「最小」の位相を入れるので設問の通りで良いはずです。
開集合の族 U_λに対して Π_{λ∈Λ}U_λ が開集合になるほど「強い」位相は入っていないかと。

回答No.1

koko_u

>A,BがそれぞれX,Yの開集合であるとき
きっと「閉集合」の間違いとして。。。

>Цx×Цy={O1×O2|O1∈Цx,O2∈Цy}が生成する位相を直積位相という。
Цx×Цy をサブセットとして含む最小の位相という意味です。もちろん、教科書には「最小」が存在する証明も書かれていたはずです。

直感的にはЦx×Цyの要素O_a1×O_a2とO_b1×O_b2の和集合も開集合で、さらに別のO_c1×O_c2との和集合も開集合で…と繰り返していって得られる位相空間ですが、集合論的にはそのような可算的な操作では厳密な実体を得ることはできません。

>また位相を「入れる」ということはどういう意味なのでしょうか？
まんま、集合 X に対して位相空間の定義を満たす開集合の族 U を持ってきて、(X, U)が位相空間だと宣言すること。

(1)は定義に沿ってやるなら、A×Bに含まれない点 (a, b) に対して、a、b各々の近傍を U、Vを各々A、Bと交わらずに取れるので、U×Vが上の定義から (a, b) の近傍であり (U×V)∩(A×B)=φ

それ以降の問題は読んでないのでパス

お礼

ありがとうございました。
位相を入れるって本当にそのまんまなんですね…。