位相

質問

数学科２年のものです。
位相空間についての授業が始まったのですが、演習問題で、わからない問題があります。
初歩的な問題かもしれませんが、どなたか解答お願いします。

集合S＝｛１，２，３，４｝に部分集合族Lを
L＝｛Φ、｛１｝、｛１，２｝｛１，３｝｛１，２，３｝、S｝
により与える。Sの部分集合｛１，２，４｝をTとおく。

(1)（S,L）は位相空間であることを示せ。
(2)位相空間（S、L）においてTの内部を求めよ。
(3)位相空間（S、L）においてTの閉包、境界を求めよ。

特に(1)の位相空間の定義の、「Lに属する任意個の和集合がLに属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。

回答No.1

OurSQL

(1) は「～を示せ」という問題ですが、"prove" とか "show" は大袈裟で、"verify" 程度の内容です。
位相空間の定義を教科書やノートで復習すれば、( S, L ) が位相空間であることの確認は、容易だと思うのですが。

>特に(1)の位相空間の定義の、「L に属する任意個の和集合が L に属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。
L が有限集合ですから、任意個といっても、実際には２個ずつで調べれば十分です。

位相空間の定義を理解するにおいて、なれてくるまでは、S の位相をすべて書き出してみるのが理想の勉強方法です。
しかし、この問題のように S の元が４個もある場合だと、時間的負担が大きすぎるかもしれません。
そこで、S の位相になっていない例を作ってみるのがお勧めです。
この問題では、L = { Φ, { 1 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 2, 3 }, S } ですが、L の元から { 1, 2, 3 } を取り除いてしまった L’ は、位相にはなりません。
なぜなら、L’ = { Φ, { 1 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, S } ですが、L’ の元 { 1, 2 } と { 1, 3 } の和集合 { 1, 2, 3 } が、L’ の元になっていないからです。

(2) は、講義で「内部」をどう定義しているか分からないので、回答しづらい感じもあります。
定義に忠実でないかもしれませんが、T の内部 int ( T ) を求めるには、T に含まれる開集合のみを取り出し、それらの和集合を求めればいいのです。
あるいは、T に含まれる開集合のうち、集合として最大のものを求めても正解が得られます。

もし T が開集合なら int ( T ) = T が成り立ちます。
この問題では T は開集合ではないので、int ( T ) = { 1, 2, 4 } とはなりません。

(3) は、まず、位相空間 ( S, L ) の閉集合をすべて書き出します。
その中から T を含む閉集合のみを取り出し、それらの共通部分を求めれば、それが T の閉包 cl ( T ) です。
ただ、内部のときと同様、講義で習った閉包の定義とは異なるかもしれません。
cl ( T ) は、T を含む閉集合のうちで集合として最小のもの、ということもできます。

もし T が閉集合なら cl ( T ) = T が成り立ちます。
この問題では T は閉集合ではないので、cl ( T ) = { 1, 2, 4 } とはなりません。

T の境界 ∂T を、T の内部 int ( T ) と T の閉包 cl ( T ) を使って表現するなら、
∂T = { s ∈ S | s は int ( T ) の元でない かつ s は cl ( T ) の元 } となります。

また、cl ( T ) = int ( T ) ∪ ∂T も成り立ちます。
これを使う場合も、int ( T ) と ∂T は disjoint なので、int ( T ) と cl ( T ) が既知の場合、∂T は簡単に求めることができます。

お礼

非常にわかりやすい説明、ありがとうございました。
これでなんとかなりそうです。