σ集合体の証明

質問

集合体の証明の問題です。

問：Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。
（１）Fは集合体である
（２）A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
　　　(i)∩(i=1,∞)Ai∈F
　　　(ii)lim(n→∞)supAn∈F

(２)の記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。

(１)は、集合体であるための定義、
・φ∈F
・A∈F⇒Aｃ(Aの補集合)∈F
・A,B∈F⇒A∪B∈F
を示せればよいのでしょうか？
そうだとしたら、σ集合体であるということは、
・φ∈F
・A∈F⇒Aｃ(Aの補集合)∈F
・A1,A2,…,An,…∈F⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
ということなので、これらを使って証明していけばいいのでしょうか？

(２)については証明の予想が立ちません…。

わかる方、解説お願いします！

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

問題は
「Fをσ集合体とする。すなわち
（１）Fは集合体である
（２）A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
を満たすとき、以下を示せ。
　　(i)∩(i=1,∞)Ai∈F
　　(ii)lim(n→∞)supAn∈F　」
というものであると思われます。また
　lim(n→∞)supAn = ∩(i=1,∞)(∪(n=i,∞)An)
ですね。
(i)A1,A2,…,An,…∈F　のとき集合体の定義より
　A1c,A2c,…,Anc,…∈F, ∪(i=1,∞)Aic∈F
ドモルガンの法則より
　∩(i=1,∞)Ai = (∪(i=1,∞)Aic)c∈F

(ii)σ集合体の性質と(i)より明らか。
このサイトで質問するより自分で調べたり考えることをお勧めします。このサイトは「自称専門家」がとんでもない回答をしたりしているのですから。

補足

回答ありがとうございます！
とてもわかりやすく説明していただいて助かります。

もう一度自分でやってみて疑問に思った点があるんですが、
(２)の(ii)は、σ集合体の性質と(i)から明らかであるというような記述の仕方でもいいのでしょうか？
この場合、σ集合体の性質の証明もしなければならないものなのでしょうか？

回答No.3

grothendieck

言葉が抜けていました。
このサイトは「自称専門家」が「自信あり」でとんでもない回答をしたりしています。
(ii)はほとんど明らかと言っても良いようなものですが、
　σ集合体の性質(2)より　(∪(n=i,∞)An) ∈ F
　したがって(i)で証明したことより
　　∩(i=1,∞)(∪(n=i,∞)An) ∈ F

お礼

証明できました！
ありがとうございました！！

回答No.1

rinkun

(1)については質問の通り、集合体である条件を逐一確認すれば良いです。
(2)は何が条件で何を証明するのかイマイチ読み取れませんが、基本的に定義の条件を確認することで証明できるように思います。
なお、(2)(ii)はまずsupの定義を明確にすることが必要でしょう。

補足

回答ありがとうございます！

（１）はその方針でやってみます！

（２）は、A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈Fとするとき、という条件で(i)(ii)を示せということだと思います。
(ii)は、lim(n→∞)supAn∈F＝∩(i=1,∞)(∪(i=1,∞)Ai)：上極限集合
なので、これがFに含まれることを証明すればいいんだろうとは思うのですが記述の仕方がいまいちわかりません。(i)も条件を確認していくとは、どのように記述していけばよいのでしょうか？

ちょっと明日までに解いて理解しなければならない問題なので、できればどのように示すのか書いてもらえないでしょうか？;；