集合に関する証明です。

質問

集合の問題で証明の仕方が分からないので質問させてください。

X,Yは集合,fは関数で　f:X→Y,　I,Jは添字集合
Ai,i∈IはすべてXの部分集合
Bj,j∈JはすべてYの部分集合
(1)f[∪Ai]=∪f[Ai]
(2)f^(-1)[∪Bj]=∪f^(-1)[Bj]
(3)f[∩Ai]⊂∩f[Ai]
(4)f^(-1)[∩Bj]=∩f^(-1)[Bj)

この(1)～(4)の証明です。
宜しくお願いします。

回答No.2

settheory

２つの集合が等しいことの定義、部分集合の定義、ここに出てくる記号の定義、それらを使おうとしてみてください。こういうところは、定義を使うしかありません（普通の数学でもそうですが）。

ｆ[Ａ∪Ｂ]＝ｆ[Ａ_0]∪f[Ａ_1]　といった、二つの時（添え字集合の要素が２個のとき）のを証明できるか、まず試してみては。

少しだけ方針を。左辺の要素を（任意に）とってきて、それが右辺の集合に属することを示す。（左辺が右辺の部分集合になることを示す）同じように、右辺の要素をとってきて、左辺の集合に属することを示す。

ほとんどがこのスタンスでいけます。あまり人に教わりすぎると、自力でできなくなってしまうことがあるので、がんばってください。

お礼

ド・モルガンの法則をそのような方針で証明したことがあるので何とかやってみようと思います。
手の着け方が分からなかったので助かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

集合なんだから A⊂B なら「A の要素が全て B の要素であること」, A=B は「A⊂B かつ B⊂A」を示す. これで証明の仕方がわかりましたね.

お礼

ありがとうございました。