集合と位相

質問

（問）ｆを集合Xから位相空間（Y,U）への全射とするとき、つぎを証明せよ。
※Uは位相
（１）T={f^(-1)(V)|V∈U}のときTはX上の位相である

（２）Tはｆを（X、T）から（Y,U）への連続写像とするX上の最小の位相である。

（１）の答案
(O1)Uは位相なので、Y、φ∈Uである。ｆは全射なのでX、φ∈Tである。
(O2)Uは位相なので任意のVの和集合はUの元である。ｆは全射なので、Tの任意の元Sの和集合はTの元である。
(O3)Uは位相なので有限個の任意のVの共通集合はUの元である。ｆは全射なので、Tの有限個の任意の元SはTの元である。

（２）はまったくてがつけられません。

どなたか詳しい方教えてください。

回答No.1

graphaffine · ベストアンサー

「全射なので」と3箇所に書いてあるけど、本当に全射性が関係してる？全射の意味が分かってますか。
そもそも、問題の条件に全射性がいらないかも。

>任意のV
言いたいことは分かるけど、普通もっと明確に書きます。

(2)は、連続の定義は分かってますか。それが分かればほぼ一発で終わるんだが。

補足

ご回答ありがとうございます。
本当に初心者なのでもっと分かりやすく書いてくださるとありがたいです。

全射の定義　Yの任意の元ｙに対してｆ（ｘ）＝ｙのｘ（Xの元）が存在する

任意のV→Uの任意の部分集合V

＞連続の定義
今調べました。
任意のεにたいし、適当なδをとれば
d(x,a)＜δ→d(f(x),f(a))＜ε
になる。

回答No.4

kabaokaba

＞距離化定理からかなぁ…

んーー・・・第二可算公理を満たす正規空間なら・・・(^^;

本題．
まえよりだいぶましになったけど・・・
dなんて言い出すくらいだから。。。ダメですな．

写像の逆像の性質を分かってないのでそれを調べましょう．
なんでもかんでも，てきとうに「全射より」ではまったくだめです．

(2)については
「最小の位相」とはなにかを調べましょう

お礼

一度しめます。

補足

>写像の逆像の性質を分かってないのでそれを調べましょう．

O２についてはf^(-1)(Q1∪Q2)=f^(-1)(Q1)∪f^(-1)(Q2)
O３についてはf^(-1)(Q1∩Q2)=f^(-1)(Q1)∩f^(-1)(Q2)

を使うという感じですか？

＞「最小の位相」とはなにかを調べましょう

テキストの位相の箇所を読んでみたのですが、「最小の位相」に関する記述が見つかりません。

もうどうしたらいいのかわからなくなってきました。

回答No.3

alice_44

＞ そもそも d は何処からきたのですか？

距離化定理からかなぁ…

回答No.2

koko_u_u

> ＞連続の定義
> 今調べました。
> 任意のεにたいし、適当なδをとれば
> d(x,a)＜δ→d(f(x),f(a))＜ε
> になる。

少なくとも自分が間違えていることには気付いてほしい。
問題の文脈でその連続の定義はどう考えてもおかしいです。そもそも d は何処からきたのですか？