位相空間についての質問です。
位相空間(T,Ot)(Tは集合でOtは位相)として、a,b,cはTの元とします。
連続写像φ:[0,1]→T、φ(0)=a、φ(1)=bが存在して、
連続写像ψ:[0,1]→T、ψ(0)=b、ψ(1)=cが存在するとします。
このとき、連続写像g:[0,1]→T、g(0)=a、g(1)=cは存在するのでしょうか？
もし存在するなら証明してほしいです。
自分の持ってる教科書の連続写像の定義は、
f:(T,Ot)→(S,Os)が点a∈Tで連続。
⇔f(a)∈Uとなる任意のU∈Osに対して、あるV∈Ot,a∈Vが存在して、f(V)Uとなる。
と定めています。
一応、自分で考えたのは、
g:[0,1]→T、g(x)=φ(2x)(0≦x≦1/2)、g(x)=ψ(2x−1)(1/2≦x≦1)なのですが、x=1/2で連続なのかわかりません。g:[0,1/2]→T,
g:[1/2,1]→Tは連続だと思います。
g(1/2)∈Uとなる開集合U⊂Tを任意に取ります。
g:[0,1/2]→Tの連続性から1/2∈V1、V1⊂[0,1/2]
となる開集合が存在してg(V1)⊂Uで、
g:[1/2,1]→Tの連続性から1/2∈V2、V2⊂[1/2,1]
となる開集合が存在してg(V2)⊂Uとなる事はわかります。
V1もV2も[0,1]の相対位相の元なので、V1UV2は、[0,1]の開集合となるのかわからないです。
(V1もV2も[0,1]の位相の元([0,1]の開集合)ならば、V1UV2は、[0,1]の開集合となる事はわかります。)
お礼
ありがとうございます。離散位相を入れると写像は連続になるけれど、密着位相だと、密着位相からの写像が連続にならない場合があるんですね。