商空間における全射について

質問

商空間の定義で出てくる、『全射』がよくわかりません。

内田伏一著、集合と位相の９６ページに、定義として、

(X,O)を位相空間とし、f:X→Yを集合XからYへの全射とする。集合Yの部分集合族O(f)を
O(f)={H∈B(Y)|f^(-1)(H)∈O}
によって定義する。

とあるのですが、ここでf^(-1)の逆写像の存在を認めていますよね？しかし、fは全単射ではなく、全射としか仮定がついていないのに、この逆写像は存在することにしてしまっていいのでしょうか？？

すごく初歩的なことかもしれませんが、アドバイスお願いします。

回答No.1

ojisan7

f^(-1)(H)は逆写像ではありません。Ｈの逆像です。
f^(-1)(H)∈Ｏ
ですから、Ｙの部分集合Ｈの逆像f^(-1)(H)が、Ｘの開集合になるとき、そのようなＹの部分集合ＨをＹの開集合と定義しましょう。という意味です。

お礼

逆増と逆写像の違いがわかりました。
ありがとうございました。