証明の仕方は、いろいろとあると思います。
たとえば、
[0,1]の補集合は、(-∞,0)∪(1,∞)です。
(-∞,0)と(1,∞)が開集合なので、(-∞,0)∪(1,∞)も開集合。
[0,1]の補集合が開集合なので、[0,1]は閉集合。
───a<bで、(a,b)が開集合であることなどを使ってよければですが・・・───
あるいは、
[0,1]の触点xが[0,1]以外にあるとする。
x>1とすると、
x-1 > 0
それで、
δ = (x-1)/2
とすると、
xを中心とする半径δの開球B(x,δ)は[0,1]と交わらない→xは[0,1]の触点ではない。
x < 0の時は、
δ = |x|/2
B(x,δ)の開球は、[0,1]と交わらない→xは[0,1]の触点ではない。
よって、[0,1]の触点は、[0,1]以外に存在しない。
[0,1]は閉集合である、
とか。
