不等式の証明別解はありますか

質問

√{３（A+4B+9C）}＞＝√Ａ＋２√Ｂ＋３√Ｃ、(Ａ，Ｂ，Ｃ>=0)
両辺を２乗して、平方の和になるように変形する方法がありますが、
そのほかの解法はあるでしょうか。

回答No.3

noname#133363 · ベストアンサー

別解というほどのことではないかもしれないけど
左辺を3で割ると
√{(A + 4B + 9C) / 3} (1)
右辺を3で割ると
{√A + √(4B) + √(9C)} / 3 (2)
√は凹関数だから(1) ≧ (2)です（Jensenの不等式）。

お礼

回答ありがとうございます
係数がうまく利いていたからできるのですね
考えるといろいろな解き方があるのだと
頭が活性化されるような感じがします。
コーシー・シュワルツにも感心しましたが、
これもエレガントと思いました

回答No.2

mister_moonlight

＞両辺を２乗して、平方の和になるように変形する方法がありますが

これが、シュワルツの意味だと言うなら、別解ではなくなるが。。。。。。ｗ

回答No.1

mister_moonlight

一瞥して、シュワルツが使える事は見抜かなければならない。

(a＾2+b＾2+c＾2)*(x＾2+y＾2+z＾2)≧(ax+by+cz)＾2

a＝b＝c＝1、x＝√Ａ、y＝2√Ｂ、z＝3√　Ｃ　　としただけ。続きは、自分でやって。

お礼

回答ありがとうございます
関数とみて、できるのかとは考えていましたが、
灯台もと暗し、不等式ときたらコーシー・シュワルツでした。
まだまだ、公式を使いこなせていないことを実感。