不等式の証明（別解）

質問

８月につぎの証明を投稿し、ラグランジュの未定乗数法をもちいれば解ける回答を頂きました。
たぶんこの不等式の証明は、ラグランジュの未定乗数法をもちいなくても、解けるタイプの問題ではないかと思います（根拠はないが）。いろいろな組み合わせを考えたり、何故、分子が９なのかとか、
分母のa+b+c+dが消えれば良いのにとか、a+b=x,c+d=yとおいたりとか、・・・。
今も考えていますが、行き詰まっています。お知恵を拝借できればと思います。よろしくお願いします。

a,b,c,dは正の実数で、abcd=1　を満たすとき、1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)>=25/4 を示せ。

回答No.2

hrsmmhr

既に解かれている人がいるのに解けていない解答なのですが
1/a+1/b+1/c+1/d>=a+b+c+dのときは簡単なんですね

S=a+b+c+d、T=1/a+1/b+1/c+1/dでT>=Sの場合
与不等式の左辺から右辺を引くと
=1/S(ST-25/4S+9)>=1/S{S^2-25/4S+9}=1/S{(S-25/8)^2-49/64}
S>=4より{}内は正で不等式は成立する

これは別解に使えそうな気がするので、ご報告しときます
逆はちょっと手がかりが思いつかなくて…

回答No.1

FT56F001

あんまりスマートにならないけれど，
変数変換と場合分けにより，
ラグランジュ未定乗数を使わない証明ができそうです。

(1) 変数変換
目的不等式左辺
F=1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)
とおく。
abcd=1から，d=1/(abc)を代入する。

F=1/a+1/b+1/c+abc+9/(a+b+c+1/(abc))

c=x/√(ab)とおくとx>0
F=1/a+1/b+√(ab)/x+√(ab)x+9/{a+b+x/√(ab)+1/[x*√(ab)]}

s=√(ab)，y=x+1/xとおく。y≧2
F=(a+b)/s^2+s*y + 9/{a+b+y/s}

a+b=t*√(ab)=tsとおく。(a+b)/2≧√(ab)よりt≧2

F= t/s + sy +9/(ts+y/s)
の最小点をy≧2，t≧2,s>0の範囲で探し，
その値が25/4より大きい事を示す。

(2) yによる最小化
t,sを一定に保ち，yを変数としてFを最小化してみる。
∂F/∂y=s-9/(ts+y/s)^2*(1/s)=
={(ts^2+y)^2-9}/(s*(ts+y/s)^2)
={ts^2+y+3}{ts^2+y-3}/(s*(ts+y/s)^2)
なので，∂F/∂yの符号は{ts^2+y-3}の符号と同じ。

(a) yの不等式制約にかからない場合
∂F/∂y=0かつy>2より
1>ts^2かつy=3-ts^2のとき最小値F1=t/s+6s-ts^3

(b) yの不等式制限にかかる場合
y=2かつ∂F/∂y≧0より
ts^2≧1かつy=2のとき最小値F2=t/s+2s+9/(ts+2/s)

(3) tによる最小化
sを一定に保ち，tを変数としてFを最小化する。ただしt≧2

(a) 1>ts^2のとき，t≧2より√(1/2)>s である。
F1=t(1-s^4)/s+6sにおいてtの係数(1-s^4)>0であるから，
t=2のときF1は最小となり，最小値F11=2(1-s^4)/s+6sをとる。

(b) ts^2≧1のとき，F2=t/s+2s+9/(ts+2/s)をtにより最小化する。ただしt≧2かつt≧1/(s^2)
∂F2/∂t=1/s-9/(ts+2/s)^2*s
={(ts+2/s)^2-9s^2}/{s(ts+2/s)^2}
={ts+2/s-3s}{ts+2/s+3s}/{s(ts+2/s)^2}
={ts^2+2-3s^2}{ts+2/s+3s}/{s^2(ts+2/s)^2}なので，
∂F2/∂tの符号は(t-3)s^2+2の符号と等しい。

(b1) (t-3)s^2+2≧0かつt=2のとき，すなわち2≧s^2≧1/2のとき
t=2でF2は最小値F21=2/s+2s+9/(2s+2/s)をとる。

(b2) ∂F2/∂t=0かつt>2のとき
(t-3)s^2+2=0かつt>2のとき
t=3-2/s^2かつs^2>2のときF2は最小となって，
F22=(3-2/s^2)/s+2s+9/(3s-2/s+2/s)=3/s-2/s^3+2s+3/s
=6/s-2/s^3+2sとなる。

(4) sによる最小化
最後にsの変域を考えてFの最小値が25/4より大きい事を示す。
(a) √(1/2)>s のときF11=2(1-s^4)/s+6s
∂F11/∂s=-2/s^2-6s^2+6=(2/s^2)(-1-3s^4+3s^2)
=(2/s^2){-3(s^2-1/2)^2+3/4-1}<0
よってF11は，s=√(1/2)における値，F111=9√(2)/2=6.364
よりも大きい。

(b1) 2≧s^2≧1/2のとき F21=2/s+2s+9/(2s+2/s)
w=1/s+sとおくと，F21=2w+9/(2w)
w≧2なので∂F21/∂w=2-9/(2w^2)=(4w^2-9)/(2w^2)>(16-9)/(2w^2)>0
よってw=2のときF21は最小値F212=4+9/4=25/4=6.25をとる。

(b2) s^2>2のとき F22=6/s-2/s^3+2s
∂F22/∂s=-6/s^2+6/s^4+2=(2/s^4)(3-3s^2+s^4)
=(2/s^4)(3+(s^2-3/2)^2-9/4)>0
よって，F22は，s=√(2)における値，F222=9√(2)/2=6.364
よりも大きい。

以上より，F≧25/4が分かった。