不等式の証明と絶対値記号

質問

『│ａ│－│ｂ│≦│ａ＋ｂ│≦│ａ│＋│ｂ│、を証明せよ』という問題がありました。
　(1)まず│ａ＋ｂ│≦│ａ│＋│ｂ│の証明なんですが、両辺が正の値であることから、両辺を二乗してその差が０より大きいことを示し証明しました。
　(2)次に│ａ│－│ｂ│≦│ａ＋ｂ│の証明なんですが、解説に“常に│ａ│－│ｂ│≧０というわけではないから、同じ方針、すなわち両辺の二乗の差では証明できない”とあり、別のやり方で証明していました。これを読んでなるほどと思ったのですが、次のような別の問題の解説を見て、あれっ？となってしまいました。

『│ａ│－│ｂ│≦│ａ－ｂ│、を証明せよ』という問題では、解説に“│ａ│－│ｂ│＜０のとき、不等式は成り立つから、│ａ│－│ｂ│≧０のときを示せばよい”とあり、両辺の二乗の差を出して証明していました。この解説の理屈でいけば、上の問題の（２）の│ａ│－│ｂ│≦│ａ＋ｂ│の証明も両辺の二乗の差を出して証明できるのではないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

yhposolihp · ベストアンサー

│ａ│－│ｂ│≦│ａ＋ｂ│・・・（１）

解説が言っているのは、
”いきなり”両辺の二乗の差はダメですよ。
”場合わけしなさい。”

具体的にいうと、
│ａ│＜│ｂ│のときは左辺は負。右辺は正。よって成立。
│ａ│≧│ｂ│のときは、両辺の二乗の差をとりなさい。

と言う意味です。

│ａ│－│ｂ│≦│ａ－ｂ│・・・（２）
（２）と同じ事を言っています。

でも、”場合わけしなさい。”と書いてあればもっと良いですね。
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（１）と（２）は実質的には同じです。

（２）の式のｂを－ｂに置き換えると（１）になります。
（１）の式のｂを－ｂに置き換えると（２）になります。
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＞＞別のやり方で証明していました。

この一文が気に成ります。
どう証明したのか機会があったら教えて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
場合わけをしなさいということなんですね。すっきりしました。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#47894

> │ａ│－│ｂ│≦│ａ＋ｂ│の証明も両辺の二乗の差を出して証明できるのではないでしょうか？

│ａ│－│ｂ│＜０　と、│ａ│－│ｂ│≧０に場合分けして示せばＯ．Ｋ．です。

│ａ│－│ｂ│＜０　のとき、左辺が負　右辺が正　なので、明らかに左辺＜右辺
│ａ│－│ｂ│≧０　のとき、（右辺）^2－（左辺）^2≧０を示せば良い。

ただ、あまりお勧めはしませんが、
│ａ│≦│ａ＋ｂ│＋│ｂ│　を証明すればよいので、
（│ａ＋ｂ│＋│ｂ│）^2－│ａ│^2　が０以上になることを示しても良いでしょう（場合分けが不要ですが、計算と変形が面倒）。

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱり場合わけなんですね。ありがとうございました。