数II 不等式の証明

質問

「a,b,x,yが実数のとき、不等式√a²＋b²＋1√x²＋y²＋1≧｜ax＋by＋1｜が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。」という問題の求め方がわかりません。平方して差をとるのは分かるんですか、肝心な計算ができません。絶対値がついているものを二乗するとどう変化するのですか？

回答No.2

bran111

√a²＋b²＋1√x²＋y²＋1≧｜ax＋by＋1｜　　　（1）

（１）は左辺が正であることを条件に2乗することができる。それは満たされているので、両辺2乗して

(a²＋b²＋1)(x²＋y²＋1)≧(ax＋by＋1)^2　　　　（2）

展開して整理すると

(ax-by)^2+(a-x)^2+(b-y)^2≧0　　　　　　　　　（３）

左辺は実数の平方和になっているので（３）は常に成り立つ。

よって（3）を整理し直して（2）を導くことができ、開平して（1）を導くことができる。

回答No.1

gohtraw

ある実数　ｚがあるとして、絶対値を取ると
｜ｚ｜＝ｚまたはーｚ　でしょ？　マイナスが付くかどうかはｚの値次第で。
だから｜ｚ｜を二乗すると　ｚ＾２　になります。