数II 等式の証明で二乗×二乗の変形

質問

こんにちは。いつもお世話になっております。
質問が２つあります。
今日もよろしくお願いします。

【問題】
以下の等号が成り立つときはどのような時か。
aの二乗+3bの二乗≧3ab

【質問】
・回答解説では、まず（実数の二乗）＋（実数の二乗）に変形するとあります。
そのような形に変形する意味を教えてください。

・画像を添付しましたが、□で囲った部分はなぜこんな数字が急に出てくるのかわかりません。
もしかして（実数の二乗）＋（実数の二乗）に変形するためでしょうか？そのための公式というか、決まったプロセスがあったら教えてください。

回答No.3

birth11 · ベストアンサー

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
a^2+2ab=(a+b)^2-b^2
上の式と下の式は同値です。
下の式は平方完成の方法で求めると分かり易いと思います。

これを踏まえてしたの写真を見てください。

お礼

平方完成自体は二次関数で扱っていましたが、まさかここでもつかうとは。。
勉強まだまだです、精進します。
写真での添付ありがとうございました。また色も使い分けされていて見やすかったです。
どの方も丁寧にアンサーしてくださり感謝しています。

回答No.2

spring135

いわゆる平方完成という技法です。

y=ax^2+bx+c=a(x^2+bx/a+c/a)=a[(x+b/2a)^2-b^2/4a^2+c/a]

=a(x+bx/2a)^2-(b^2-4ac)/4a

は教科書に必ずあるので復習してください。

お礼

平方完成は二次関数のところで出てきて以来使っていないので、まさかここで使うとは。
‘技法’という言葉がグサッときました、まだまだ私使いこなせていませんね（汗）
はい、教科書で復習いたします！！

回答No.1

soixante

べき乗は　＾　と書きます。

a^2 + 3b^2 - 3ab これを並び替えて
a^2 - 3ab + 3b^2 　とすると分かりやすいかもしれませんね。

とりあえず3b^2 はおいといて、最初の２項、

a^2-3ab を平方完成しようと思うと、(3/2)b^2 が必要になりますから足してしまいます。

a^2-3ab+(3/2)b^2 =(a-(3/2)b)^2 とできますよね。

で、さっき何もないところから足した、(3/2)b^2　を引かないとチャラになりませんので、引いています。
で、おいといた3b^2からこれを引いたら、（3/4)b^2 となります。

お礼

べき乗の書き方を知らずして質問してしまいすみません。。。
平方完成なのですね！！二次関数のところでしか使わないと思い込んでいたものでびっくりしました。
もっと頭を柔軟にせねば（汗）

平方完成の解説も丁寧にありがとうございました。
優しい口調でsoixanteさまのお人柄が伝わってくる気がしました。